Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов

Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка Курсовая работа по дисциплине :  Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ Выполнил:  студент гр. ХТ-96 Кузнецов М.В. Министерство образования Украины Донецкий государственный технический университет Кафедра  химической технологии топлива г. Донецк  1998 год Введение Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ.    В дифференциальное уравнение -го порядка в качестве неизвестных величин входят функция y(x) и ее первые производных по аргументу x      j( x, y, y1, .  y( )             1.1    Из теории ОДУ известно, что уравнение (1.1) эквивалентно системе уравнений первого порядка                jk(x, y1, y1’ ,y2 ,y2 ’, . ,y ,y 1.2 где k=1, . , .    Уравнение (1.1) и эквивалентная ему система (1.2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости  от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.    Первый тип – это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения (1.1) в некоторой точке xo должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y(x) и ее производных                y(x0)=y0’ ,   y’(x0)=y10, . , y( -1)(x0)=y -1,0. Для системы ОДУ типа (1.2) начальные условия задаются в виде                y1(x0)=y10 ,     y2(x0)=y20, . ,             1.3    Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x є , то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничная задача, равен двум.    Третий тип задач для ОДУ – это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y(x) и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров l1,l2,¼, хm, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале необходимо задать m граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей полей волновых процессов и т.д.    К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.

   Большинство методов решения ОДУ основано на задаче Коши, алгоритмы и программы для которой рассматриваются в дальнейшем. 1. Постановка задачи    Многие процессы химической технологии описываются СДУ - начиная от кинетических исследований и заканчивая химическими технологическими процессами. В основу математических способов описания процессов положены СДУ и СЛАУ. Эти уравнения описывают материальные и тепловые балансы объектов химической технологии, а так же структуры потоков технических веществ в этих аппаратах. Для получения, распределения технологических параметров во времени и в пространстве (в пределах объекта), необходимо произвести СДУ методом, которых дал бы высокую точность решения при минималььных затратах времени на решение, потому что ЭВМ должна работать в режиме реального времени и успевать за ходом технологического процесса. Если время на решение задачи большое, то управляющее воздействие, выработанное на ЭВМ может привести к отрицательным воздействиям. Методов решения существует очень много. В данной работе будет рассмотрен метод решения СДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка. Для удобства работы на ЭВМ, необходимо данную кинетическую схему преобразовать в удобный для работы на компьютере вид. Для этого необходимо кинетическую схему процесса представить в виде уравнений. При рассмотрении кинетической схемы процесса необходимо учитывать коэффициенты скоростей реакций. Но, так как процесс протекает при изотермических условиях, коэффициенты скоростей реакций можно считать за константы скоростей химической реакции. Из приведенной ниже схемы мы можем составить ряд дифференциальных уравнений, учитывающих изотермичность процесса. Так как коэффициенты K1,K2,K3,K4 являются константами, то можно уравнение  записать  в следущем виде. Для преобразования данных дифференциальных уравнений для использования  их в расчетах тепловых и кинетических схем методами Рунге-Кутты необходимо подставлять вместо производных значений концентраций, значения концентраций данных в начале процесса. Это обусловлено тем, что метод Рунге-Кутты четвертого порядка, который будет использован для расчета кинетической схемы процесса. Так как этот метод требует сведений только об одной точке и значений функции. 2. Суть метода    Разбор и рассмотрение методов, применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений, мы начнем с их широкой категории, известной под общим названием методов Рунге-Кутта.    Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами: 1. Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти уm 1, нужна информация  о предыдущей точке xm,ym. 2. Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода. 3. Они не требуют вычисления производных от f (x,y), а требуют вычисления самой  функции. Рассмотрим сначала геометрическое построение и выведем некоторые формулы на основе геометрических аналогий. После этого мы подтвердим полученные результаты аналитически.    Предположим, нам известна точка xm,ym  на  искомой кривой. Тогда мы можем провести прямую линию с тангенсом угла наклона у&ce ;m=f(xm,ym), которая пройдет через точку xm,ym.

Это построение показано на рис.1, где кривая представляет собой точное, но конечно неизвестное решение уравнения, а прямая линия L1 построена так, как это только что описано. Тогда следующей точкой решения можно считать ту, где прямая L1 пересечет ординату, проведенную через точку x=xm 1=xm h. Уравнение прямой L1 выглядит так: y=ym y&ce ;m(x-xm) так как y&ce ;=f(xm,ym) и кроме того, xm 1=xm h тогда уравнение примет вид  ym 1=ym h f(xm,ym)                          1.1    Ошибка при x=xm 1 показана в виде отрезка е. Очевидно, найденное таким образом приближенное значение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h, так что ошибка ограничения равна  e =Кh2    Заметим, что хотя точка на графике 1 была показана на кривой, в действительности ym является приближенным значением и не лежит точно на кривой.    Формула 1.1 описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Отметим, что метод Эйлера является одним из методов Рунге-Кутта первого порядка. Рассмотрим исправленный метод Эйлера и модификационный метод Эйлера. В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек: xm,ym и xm h,ym hy&ce ;m. Последняя точка есть та самая, которая в методе Эйлера обозначалась xm 1,ym 1. Геометрический процесс нахождения точки xm 1,ym 1 можно проследить по рис.2. С помощью метода Эйлера находится точка xm h,ym hy&ce ;m, лежащая на прямой L1. В этой точке снова вычисляется тангенс, дает прямую L. Наконец, через точку xm,ym мы проводим прямую L, параллельную L. Точка, в которой прямая L пересечется с ординатой, восстановленной из x=xm 1=xm h, и будет искомой точкой xm 1,ym 1. Тангенс угла наклона прямой L и прямой L равен Ф(xm,ym,h)=½                                                           1.2    где                   1.3    Уравнение линии L при этом записывается в виде                y=ym (x-xm)Ф(xm,ym,h),    так что                                 1.4    Соотношения 1.2, 1.3, 1.4 описывают исправленный метод Эйлера. Чтобы выяснить, насколько хорошо этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора, вспомним, что разложение в ряд функции f(x,y) можно записать следующим образом:                          1.5 где частные производные вычисляются при x=xm и y=ym.    Подставляя в формулу 1.5 x=xm h и y=ym hy&ce ;m и используя выражение 1.3 для y&ce ;m, получаем                f(xm h,ym hy&ce ;m)=f hfx hffy O(h2), где снова функция f и ее производные вычисляются в точке xm,ym. Подставляя результат в 1.2 и производя необходимые преобразования, получаем                Ф(xm,ym,h)=f h/2(fx ffy) O(h2). Подставим полученное выражение в 1.4 и сравним с рядом Тейлора                ym 1=ym hf h2/2(fx ffy) O(h3).    Как видим, исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2, являясь, таким образом, методом Рунге-Кутты второго порядка. Рассмотрим модификационный метод Эйлера. Рассмотрим рис.3 где первоначальное построение сделано так же, как и на рис.2. Но на этот раз мы берем точку, лежащую на пересечении этой прямой и ординатой x=x h/2.

Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть во всех реализациях системы Maple: • DEnormal — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений; • DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений; • DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений; • Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях; • PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных; • PDEplot — построение графиков решения дифференциальных уравнений в частных производных; • autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность; • convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений; • convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений; • dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля; • indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные; • phaseportrait — строит график решения дифференциальных

1. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши

2. Построение системы методов управления инвестиционными рисками лизинговой компании

3. Методы и средства цифровой коррекции изображения в оптико-электронных системах визуализации

4. Система методов мотивации

5. Система методов работы социальных педагогов

6. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
7. Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса
8. Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты

9. Исправление ошибок в учетных регистрах. Предмет и метод бухгалтерского учета

10. Учет амортизации основных средств в организации и методы ее начисления: бухгалтерский и налоговый аспекты (на примере ООО "Орбита-4")

11. Брекеты - основной метод исправления аномалий прикуса

12. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов

13. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии

14. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ГЕНЕТИКИ

15. Методы психогенетики

16. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы

Чехол стеганый сменный "Нордтекс" (для подушки 50х70 см), на молнии.
Материал: полиэстер. Размер подушки: 50х70 см.
321 руб
Раздел: Прочее
Детский трехколесный велосипед Jaguar (цвет: зеленый).
Облегченный трехколесный велосипед с родительской ручкой, для малышей от 2 до 4 лет. Удобный, маневренный, отличная модель для получения
2500 руб
Раздел: Трехколесные
Настольная игра "Упрямый Шарик".
Любимый игровой автомат теперь у вас дома! Упрямый Шарик - игра, знакомая многим с детства: нужно провести шарик по долгому и тернистому
976 руб
Раздел: Игры на ловкость

17. Новейшие методы селекции: клеточная инженерия, генная инженерия, хромосомная инженерия

18. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

19. Методы и модели демографических процессов

20. Гидрохимический, атмохический и биогеохимический методы поисков

21. Добыча золота методами геотехнологии

22. Государственное регулирование экономики: формы и методы
23. Сущность, методы и формы государственного регулирования внешнеэкономической деятельности Российской Федерации
24. Нелегальная миграция в России и методы борьбы с ней

25. Предмет и метод гражданского права

26. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/

27. Корпорация BBC. Формы и методы государственного контроля вещания

28. Формы и методы выхода предприятий на внешний рынок

29. Финансовый контроль: формы, методы, органы

30. Эффективные методы изучения иностранных языков

31. Метод действенного анализа в режиссуре театра, кино и телевидения

32. Соцреализм как метод искусства

Папка-сумка "Тролли", А4.
Папка текстильная формованная из вспененного полимера. Формат: А4. Лицевая сторона с выдавленными элементами 3D.
481 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением
Фигурка декоративная "Колокольчик", 6x10 см.
Осторожно, хрупкое изделие! Материал: металл, австрийские кристаллы. Размер: 6x10 см. Товар не подлежит обязательной сертификации.
358 руб
Раздел: Миниатюры
Батут.
Каркас: сталь. Полотно: дюралевая нейлоновая сетка. Окантовка: прочный защитный материал. Количество ножек: 6 шт. Допустимая нагрузка:
3350 руб
Раздел: Батуты, надувные центры

33. Дидактические возможности отдельных методов обучения на уроках литературы в старших классах

34. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

35. Цивилизационные методы в изучении истории

36. Методы компьютерной обработки статистических данных

37. Решение транспортной задачи методом потенциалов

38. Шифрование по методу UUE
39. Разработка методов определения эффективности торговых интернет систем
40. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла

41. Защита информации от несанкционированного доступа методом криптопреобразования /ГОСТ/

42. Обучение начальных курсов методам программирования на языке Turbo Pascal

43. Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод

44. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования (Windows)

45. Математические методы и языки программирования: симплекс метод

46. Лекции по высокоуровневым методам информатики и программированию

47. Метод Симпсона на компьютере

48. Полином Гира (экстраполяция методом Гира)

Стиральный порошок Attack "BioEX", концентрированный, 0,9 кг.
Концентрированный стиральный порошок Attack "BioEX" подходит для стирки белого, цветного, темного и черного белья. Запасной блок
342 руб
Раздел: Стиральные порошки
Звуковой плакат "Говорящая азбука".
Представляем Вашему вниманию уникальную новинку — развивающие звуковые плакаты, которые содержат стихотворения, занимательные и
849 руб
Раздел: Электронные и звуковые плакаты
Наушники "Philips SHE3550", черные.
Маленькие громкие динамики наушников-вкладышей "Philips SHE3550" обеспечивают плотное прилегание и чистый звук с мощными басами.
803 руб
Раздел: Гарнитуры и трубки

49. Компьютерные вирусы, типы вирусов, методы борьбы с вирусами

50. Анализ криптостойкости методов защиты информации в операционных системах Microsoft Window 9x

51. Парольные методы защиты информации в компьютерных системах от несанкционированного доступа

52. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

53. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

54. Решение задач - методы спуска
55. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
56. Метод конечных разностей или метод сеток

57. "Комплект" заданий по численным методам

58. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

59. Сетевые методы в планировании

60. Вычисление интеграла фукции f (x) (методом Симпсона WinWord)

61. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

62. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

63. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

64. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

Глобус детский зоогеографический, с подсветкой, 210 мм.
Глобус Земли зоогеографический для детей, с подсветкой. Диаметр: 210 мм. Материал: пластик.
845 руб
Раздел: Глобусы
Настольная игра "Loonacy".
Loonacy (Лунаси) – очень забавная и веселая игра, в которой победит тот, что проворнее и внимательнее. Суть игры заключается в том, чтобы
490 руб
Раздел: Карточные игры
Горшок дорожный и насадка на унитаз "HandyPotty", голубой.
Складной дорожный горшок HandyPotty. Он может заменить сразу три аксессуара: привычный ребенку и его родителям горшок, дорожный горшок для
1160 руб
Раздел: Прочие

65. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

66. Методы и приемы решения задач

67. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

68. Вычислительные методы алгебры (лекции)

69. Решение транспортной задачи методом потенциалов

70. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
71. Методы расчета электрических полей
72. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач

73. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов

74. Новый метод «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова для краевых задач

75. Лазерные методы диагностики. Термография

76. Объективные и субъективные признаки усталости, утомления и переутомления, их причины, методы устранения и профилактика

77. Дополнительные методы обследования легочных больных. Основные синдромы при заболеваниях легких

78. Хламидиоз. Методы определения/диагностики

79. Предмет, метод, содержание cудебной медицины

80. Методы оценки кровопотери в акушерстве

Наклейка зеркальная "Бабочки", 30x40 см.
Стильные оригинальные зеркальные наклейки прекрасно дополнят интерьер вашего дома, наполнив его светом и радостью. Декорирование интерьера
351 руб
Раздел: Интерьерные наклейки
Глобус детский зоогеографический, 210 мм.
Глобус детский зоогеографический, на пластиковой подставке. Диаметр: 210 мм.
374 руб
Раздел: Глобусы
Пепельница S.Quire круглая, сталь, 110 мм.
Металлическая круглая пепельница S.QUIRE станет хорошим подарком курящим людям. Глубокий контейнер для пепла снабжен съемной крышкой,
361 руб
Раздел: Пепельницы

81. Метод Фолля

82. Некоторые методы лечения переломов длинных трубчатых костей

83. Ретроспективный cанитарно – эпидемиологический анализ по определению связи между заболеваемостью населения ОКИ и факторами внешней среды по эпидемиологически значимым объектам (с использованием статистического метода ранговой корреляции ) за 2000 –2002 г

84. Сравнительная характеристика методов лабораторной диагностики трихомоноза

85. Продвинутые методы Ганемана. LМ-потенции: теория и практика

86. Воспалительные заболевания женских половых органов неспецифической этиологии, клиника, диагностика, методы лечения
87. Предмет, понятие, метод и система криминологии
88. Характеристики методов расследования преступлений, связанных с квалифицированным вымогательством

89. Понятие и основные методы исследовательской фотографии

90. Загрязнение водных ресурсов и методы очистки

91. Методы очистки промышленных газовых выбросов

92. Мониторинг загрязнения водной среды реки Херота с помощью методов биоиндикации

93. Экология. Предмет и методы

94. Визуальные методы оценки цикличности в ходе метеоэлементов

95. Изучение экологического состояния территории Большеземельской тундры с использованием методов дистанционного мониторинга

96. Игровые методы в логопедической практике

Одноразовые стаканы, 3000 штук.
Изготовлены из экологически чистого полимера – полипропилена. Для горячих и холодных напитков. Пригодны для использования в микроволновых
2048 руб
Раздел: Одноразовые стаканы, рюмки
Хлебная форма прямоугольная, 0,5 кг.
Материал: алюминий. Вес: 0,5 кг. Высота: 10 см. Размеры по верхнему краю: 10x21 см.
334 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки
Набор для творчества "Ткацкий станок".
Не знаете, чем занять своего ребенка? Кажется, что малыш перепробовал уже все виды игр? Необычный набор для творчества "Ткацкий
378 руб
Раздел: Прочее

97. Компьютерные технологии как фактор эволюции форм и методов обучения

98. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

99. Наркомания школьников, методы профилактики


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.