|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии |
Горшок торфяной для цветов. 
Мыло металлическое "Ликвидатор". Министерство общего и профессионального образования Р.Ф. Иркутский государственный технический университет. Кафедра высшей математики. Реферат. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии. Выполнила: студентка группы ТЭ-97-1 Мелкоступова С.С. Проверил преподаватель кафедры высшей математики Седых Е.И. Иркутск 1998. Содержание. 1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. 2. Вычисление двойных интегралов. a) примеры. 3.Приложения двойных интегралов к задачам механики. а) масса плоской пластинки переменной плотности. б) статические моменты и центр тяжести пластинки. в) моменты инерции пластинки. 4.Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов. а) Объём. б) Вычисление площади плоской области. 5.Вычисление площади поверхности. а) Примеры. 1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz. Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело, ограниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой Рис. 1 Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело. Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела: 1) если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей; 2) объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела. Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. что Рис. 2 Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на некоторое число областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через . Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность на кусков, соответствующих частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разбитым на частичных цилиндрических тел (см.рис.2). Выберем в каждой частичной области и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной . В результате получим -ступенчатое тело, объем которого равен Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объему построенного -ступенчатого тела, будем считать, что V тем точнее выражает V, чем больше и чем меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры.
Если назвать диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы (Например, диаметр прямоугольника равен его диагонали, диаметр эллипса—его большой оси. Для круга приведенное определение диаметра равносильно обычному.), то высказанное требование будет означать, что каждый из диаметров частичных областей должен стремиться к нулю; при этом сами области будут стягиваться в точку (Если известно только, что площадь области стремится к нулю, то эта область может и не стягиваться в точку. Например, площадь прямоугольника с постоянным основанием и высотой, стремящейся к нулю, стремится к нулю, а прямоугольник стягивается к своему основанию, т. е. к отрезку). В соответствии со сказанным мы принимаем искомый объем V равным пределу, к которому стремится V при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей (при этом К отысканию предела подобных сумм для функций двух переменных приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме. Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть - любая функция двух переменных (не обязательно положительная), непрерывная в некоторой области D, ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на частичные, как указано выше, выберем в каждой частичной области по произвольной точке - значение функции в точке , - площадь частичной области. Сумма ( ) называется -й интегральной суммой для функции в области D, соответствующей данному разбиению этой области на частичных областей. Определение. Двойным интегралом от функции по области D называется предел, к которому стремится -я интегральная сумма ( ) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Записывается это так: по области D». Выражение , показывающее вид суммируемых слагаемых, называется подынтегральным выражением; функция - элементом площади, область D - областью интегрирования, наконец, переменные x и у называются переменными интегрирования. Таким образом, можно сказать, что объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью Oxy, поверхностью и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, выражается двойным интегралом от функции , взятым по области, являющейся основанием цилиндрического тела: . Аналогично теореме существования обыкновенного интеграла имеет место следующая теорема. Теорема существования двойного интеграла. Если функция непрерывна в области D, ограниченной замкнутой линией, то её -я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т.е. двойной интеграл , не зависит от способа разбиения области D на частичные области и от выбора в них точек Pi. Двойной интеграл, разумеется, представляет собой число, зависящее только от подынтегральной функции и области интегрирования и вовсе не зависящее от обозначений переменных интегрирования, так что, например, . Далее мы убедимся а том, что вычисление двойного интеграла может быть произведено посредством двух обыкновенных интегрирований. 2.Вычисление двойных интегралов. При вычислении двойного интеграла нам удобно представить в ином виде. Будем разбивать область интегрирования D в плоскости Oxy на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=co s , y=co s .
Этими линиями служат прямые, параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями - прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Ясно, что площадь каждой частичной области и мы запишем в виде т.е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных. Мы имеем . ( ) При вычислении двойного интеграла ( ) мы будем опираться на тот факт, что он выражает объём V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью . Напомним, что мы уже занимались задачей об объёме тела, когда рассматривали применения определённого интеграла к задачам геометрии и получили формулу Рис.3 где S(х) - площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а - уравнения плоскостей, ограничивающих тело. Применим теперь эту формулу к вычислению двойного интеграла Предположим сначала, что область интегрирования D удовлетворяет следующему условию: любая прямая, параллельная оси Ox или Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках. Соответствующее цилиндрическое тело изображено на рис.3 Область D заключим внутрь прямоугольника стороны которого касаются границы области в точках А, В, С, Е. Интервал является ортогональной проекцией области D на ось Ох, а интервал - ортогональной проекцией области D на ось Oy. На рис.5 область D показана в плоскости Оху. Точками A и C граница разбивается на две линии: ABC и AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси Oy, в одной точке. Поэтому, их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно y: (AEC). Аналогично точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ и ВСЕ, уравнения которых можно записать так: Рис.5 Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью, параллельной плоскости Oyz, т.е. x=co s , (рис). В сечении мы получим криволинейную трапецию PM R, площадь которой выражается интегралом от функции , рассматриваемой как функция одной переменной у, причем у изменяется от ординаты точки P до ординаты точки R. Точка P есть точка входа прямой х =co s (в плоскости Оху) в область D, а R - точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий АВС и АЕС следует, что ординаты этих точек при взятом х соответственно равны дает выражение для площади плоского сечения PM R. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х; другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х): Согласно формуле ( ) объем всего тела будет равен интегралу от S(x) в интервале изменения .( При выводе формулы ( ) мы считали, что S( ) есть геометрическая площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая . Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно доказать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций. Заменяя в этой формуле S(x) её выражением, окончательно получим (А) Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго аргумента х.
Остальные участники встречи довольствовались тиражными Rolex. Санчес оттарабанил свою обычную презентацию, несколько раз срезая углы повествования, когда Роби его одергивал: PБез технических деталей, Саша, пожалуйста. Это сейчас неважно. Главный все время, пока Санчес говорил, читал какие-то свои бумаги на столе. Пару раз он поднимал глаза на робеющего Санчеса и дружелюбно кивал ему, мол, молодец, продолжай. Когда Санчес замолк, Главный спросил: PКакие вопросы, товарищи? После этого все остальные с готовностью взяли свои записи и начали задавать явно заранее подготовленные вопросы. Много вопросов. На часть из них более технических отвечал Санчес. Многие, остановив его чуть заметным жестом, перехватывал Роби. Как и вPразговорах с другими инвесторами, большинство вопросов касалось возможности применения разработанных технологий для разных отраслей. Только в данном случае много внимания уделялось сферам двойного применения и откровенно задачам военной промышленности. Серьезная дискуссия развернулась вокруг возможных последствий утечки технологии в руки террористов иP«экстремистов разных толков»
1. К вопросу об ограничении области применения классической механики
2. Применение законов механики в горнолыжном спорте
3. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
10. Применение новейших экономико-математических методов для решения задач
11. Опыт применения сейсморазведки ОГТ для решения инженерно-геологических задач
12. Применение Информационной Системы «GeoBox» для решения задач автоматизации строительства скважин
13. Расчет экономической эффективности применения ПЭВМ для решения задачи
14. Применение бизнес-инжиниринга к задачам государственного управления
Телескопическая ложка. 
Этикетка самоклеящаяся, А4, 1 этикетка, 210х297 мм, белая, 100 листов. 
Игровой набор "My Little Pony. Мерцание". Пинки Пай. 19. Применение методов экономической статистики при решении задач
20. Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли)
21. Практическое применение космонавтики
25. Механизм применения антимонопольных законов
27. Дисциплинарная ответственность. Применение дисциплинарного взыскания
29. Определение эффективности применения информационной технологии
30. Применение ЭВМ в управлении производством
31. Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод
32. Криптология: подстановочно-перестановочный шифр и его применение
Шарики, 50 шт. 
Фломастеры-аэрозоль "Blowpens", 10 цветов. 
Мягкий пол универсальный, коричневый, 33x33 см (9 деталей). 33. Применение компьютера в туристической деятельности
35. Геометрия
37. Математическая кунсткамера /кое-что из истории геометрии/
41. Применение алгоритма RSA для шифрования потоков данных
42. Экзанаменационные билеты по геометрии за 9 класс
43. Шифросистемы с открытым ключом. Их возможности и применение.
44. Лобачевский и неевклидова геометрия
45. Справочник по геометрии (7-9 класс)
46. Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка)
48. Применение электроники и биомеханики при протезировании
Простыня на резинке "ЭГО", 90х200 см, салатовая. 
Форма разъемная Regent "Easy" круглая, 18x7 см. 
Стиральный порошок Lion "Blue Diamond", 900 грамм. 49. Дезинфицирующие препараты и их применение в хирургии
50. Применение ультразвука в медицине
51. Применение психологических знаний в процессе оперативно - розыскной деятельности
52. Применение милицией физической силы, спецсредств и огнестрельного оружия
53. Применение судами условного осуждения
57. Технические средства статической проекции и методика их применения в начальной школе
58. Арсенид индия. Свойства, применение. Особенности получения эпитаксиальных пленок
59. Применение УВМ при автоматизации сортовых прокатов
60. Кулисный механизм. Практическое применение
61. Устройства дорожной одежды с применением золоминеральной смеси
62. Моделирование процессов функционирования технологических жидкостей в системе их применения
63. Гальванотехника и ее применение в микроэлектронике
64. Проект восстановления коленчатого вала ЗИЛ 130 с применением ультразвукового упрочнения
Керамическая кружка "World of Tanks" с 3D логотипом, 425 мл. 
Стиральный порошок Perfect 6 Solution "Перфект мульти солюшн", 3200 грамм. 
Настольная игра "Хоккей". 65. Применение гетеропереходов в оптоэлектронике
66. Промышленное применение лазеров
68. Применение материалов Аэрофотосъемки при инвентаризации лесов
69. Агрохимия и система применения удобрений
74. Назначение и область применения лазеров
75. Двигатели Стирлинга. Области применения
76. Спектры. Спектральный анализ и его применение
77. Ультразвук и его применение
78. Тепловые двигатели и их применение
79. Применение анаболичемких стероидов
Рюкзачок "Снеговик". 
Качели детские подвесные "Вятушка". 
Набор эмалированных кастрюль "Mayer & Boch" (3 предмета). 81. Применение алкенов и алкодиенов
82. Получение и применение кальция и его соединений
83. Применение топлив, смазочных материалов и специальных жидкостей
84. Получение алканов, алкенов, алкинов. Важнейшие представители. Применение в промышленности
85. Инертные газы: история открытия, свойства, применение
90. Применение экспресс-анализаторов АН-7560, АН-7529 и АС-7932 в аналитической химии
91. Применение аккредитивной формы расчетов во внутреннем и международном оборотах
92. Применение технического анализа на фондовом рынке
93. Применение маркетинга на микро уровне
94. Применение мировых информационных ресурсов в менеджменте
95. Особенности и возможности применения SWOT-анализа на российских предприятиях
96. Применение теории мотивации для повышения эффективности управления персоналом
Кукольная мебель "Шкаф". 
Подушка детская "Бамбук" 40x60 см, арт. ДТ-ПСБД-4060-1. 
Подгузники Moony, 4-8 кг, экономичная упаковка, 81 штука. 99. Применение статистических методов в изучении прибыли и рентабельности
Совок большой. 
