Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Наклейки для поощрения "Смайлики 2".
Набор для поощрения на самоклеящейся бумаге. Формат 95х160 мм.
19 руб
Раздел: Наклейки для оценивания, поощрения

ОглавлениеВведение Глава I. Развитие геометрии 1.1 История геометрии 1.2 Постулаты Евклида 1.3 Аксиоматика Гильберта 1.4 Другие системы аксиом геометрии Глава II. Неевклидовы геометрии в системе Вейля 2.1 Элементы сферической геометрии 2.2 Эллиптическая геометрия на плоскости 2.3 Геометрия Лобачевского в системе Вейля 2.4 Различные модели плоскости Лобачевского. Независимость 5-го постулата Евклида от остальных аксиом Гильберта Заключение Список литературы Введение Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки. Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в квантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но это тоже нормально – ещё Ломоносов говорил: «Алхимия – мать химии: дочь не виновата, что её мать глуповата». Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект. В своём реферате я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180 В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее. Я выбрал данную тему по нескольким причинам: теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением. Ситуация с геометрией Лобачевского и геометрией Евклида во многом похожа на ситуацию с Теорией относительности Эйнштейна и классической физикой. Геометрия Лобачевского и ОТП Эйнштейна это прогрессивные взаимосвязанные теории, выполняющиеся на огромных величинах и расстояниях, и остающимися верными на приближениях к нулю. В пространственной модели ОТП используется не обычная евклидовая плоскость, а искривленное пространство, на котором верна теория Лобачевского. Глава I. Развитие геометрии 1.1 История геометрииГеометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека». Считается, что геометрия началась в так называемой Ионийской школе.

Её основателем считается Фалес Милетский (640-540 (546?) гг. до н. э.). Он считался одним из семи мудрецов Греции, первым математиком, астрономом и философом. Он доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что вертикальные углы равны, что диаметр делит окружность пополам и ещё множество теорем. Предсказание затмения солнца в 585 году также приписывается ему. Огромный импульс развития этой школе дал Пифагор (569-470 гг. до н. э.). В основном о его личных качествах пишут то же самое, что и о Фалесе. Но к этому ещё можно добавить титул чемпиона по боксу на олимпийских играх – звание, среди математиков редкое. Несмотря на все его достижения, мнение современников хорошо выразил Гераклит: «Многознание без разума». Что ж, это было вполне заслужено: Пифагор засекречивал открытия и приписывал себе работы учеников. Пифагор также заставлял своих воспитанников исполнять целый свод очень странных правил: например, не прикасаться к белому петуху. Но факт есть факт - и одна из теорем Пифагора теперь известна каждому – это теорема о равенстве квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Эта теорема настолько популярна в мире математиков, что одних только доказательств накопилось 39 штук. Их можно посмотреть на сайте www.cu - he-k o .com/py hagoras. Платон (428-348) знаменит введением принципа дедуктивности в математике, или принципа развития от простого к сложному. Он также знаменит постановкой трех задач на построение. Используя только циркуль и линейку, надо было: Разделить угол на три части (задача о трисекции угла). Построить квадрат, равный по площади данному кругу (задача о квадратуре круга). Построить куб, равный по объему данному (задача об удвоении куба). Нерешаемость этих задач была доказана только в 19 веке, но перед этим они успели вызвать настоящую бурю: например, задача №2 вызвала появление интегрального исчисления. Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств. Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны. Закончилось развитие традиционной геометрии Евклидом. В III веке до нашей эры греческий ученый привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Его книга «Начала» только до 1880 года выдержала 460 изданий, уступив только Библии. Способ построения «Начал» стал единственно верным для всех научных работ: Перечисление основных, естественных понятий ® Перечисление основных аксиом ® Перечисление основных определений ® Формулирование теорем (утверждений) и их доказательство. Метод доказательства от противного – тоже его заслуга. Он же сформулировал пять постулатов геометрии: Через два точки можно провести одну и только одну прямую. Прямая продолжается бесконечно. Из любого центра можно провести окружность любым радиусом. Все прямые углы равны между собой. Пятый постулат является своеобразным философским камнем геометрии.

Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и во многом не соответствует нашим привычным представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида. 1.2 Постулаты Евклида Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию. «Начала» состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении. Каждая книга «Начал» начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности, Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей. Определение 2. Линия есть длины без ширины Определение 3. Границы линии суть точки. Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства. Постулаты I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию. II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить. III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом. IV. И чтобы все прямые углы были равны. V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. Аксиомы I. Равные порознь третьему равны между собой. II. И если к ним прибавим равные, то получим равные. III. И если от равных отнимем равные, то получим равные. IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные. V. И если удвоим равные, то получим равные. VI. И половины равных равны между собой. VII. И совмещающиеся равны. VIII. И целое больше части. IX. И две прямые не могут заключать пространства. Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно. Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых. Возможно, что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений «Начал» не опираются на V постулат. Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым. Одни математики старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат.

Можно заменить переход от евклидовой геометрии к неевклидовой геометрии на плоскости - искривлением этой плоскости. Но как представить себе неевклидову геометрию в пространстве переход от трехмерной евклидовой геометрии к трехмерной неевклидовой геометрии? Зрительного образа искривления трехмерного пространства мы не находим. Но мы можем считать искривлением трехмерного пространства всякий переход от евклидовых геометрических соотношений в этом пространстве к неевклидовым. Когда Эйнштейн знакомился с евклидовой и неевклидовой геометрией на лекциях по математике в Цюрихе, он не представлял себе, какие именно геометрические понятия позволят найти и описать новую физическую теорию. Только через много лет он увидел, что интересовавшая его с отрочества проблема относительности движения имеет непосредственное отношение к координатным преобразованиям и кривизне пространства. Для этого необходимо было придать понятию пространства более широкий смысл. Эйнштейн подошел к трехмерному пространству и к описывающей его свойства трехмерной евклидовой геометрии с критерием физической содержательности

1. Лобачевский и неевклидова геометрия

2. Неевклидова геометрия

3. Учение о параллельности. Открытие неевклидовой геометрии

4. Геометрия физического пространства

5. Геометрия в пространстве

6. Геометрия пространства двойной планетной системы: Земля - Луна
7. План урока геометрии. Тема: векторы в пространстве
8. Геометрия. Цилиндр и конус

9. Геометрия

10. Аксиоматический метод. Логическое строение геометрии

11. Билеты по аналитической геометрии

12. Кроссворд по геометрии

13. Шпаргалка по геометрии и алгебре

14. Экзанаменационные билеты по геометрии за 11 класс

15. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

16. Геометрия Лобачевского

Набор чехлов для путешествий "Бон вояж".
В набор чехлов для путешествий входит 5 чехлов различного размера и назначения, в которые можно положить любые вещи, которые пригодятся
520 руб
Раздел: Чехлы для одежды
Письменные принадлежности "Набор первоклассника", арт. Нп4_17692.
В наборе: доска для лепки, клей-карандаш, ручка шариковая синяя - 2 штуки, карандаш черно графитный - 2 штуки, точилка, пластилин, набор
527 руб
Раздел: Наборы канцелярские
Карандаши цветные "Kores", 48 цветов, с точилкой.
Двусторонние цветные карандаши имеют насыщенные цвета. Трехгранная форма корпуса снижает усталость и придает дополнительный комфорт.
716 руб
Раздел: Более 24 цветов

17. Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

18. Билеты за 9 класс по геометрии

19. История развития начертательной геометрии

20. Существование в геометрии. Анализ категорий модальности

21. Аксиоматический метод в геометрии

22. Некоторые темы геометрии
23. Геометрия
24. Геометрия Лобачевского

25. Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

26. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

27. Современные понятия пространства, времени и ограниченность преобразований лоренца

28. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

29. Гравитация и геометрические свойства пространства

30. Начертательная геометрия и инженерная графика

31. План урока геометрии. Тема: Свойство медиан треугольника

32. Движение в пространстве, пространство движения и геометрический образ движения: опыт топологического подхода

Рюкзачок "Путешествие".
Детский рюкзак "Путешествие" имеет яркий стильный дизайн. Он имеет небольшие размеры, а его лямки могут регулироваться по длине.
506 руб
Раздел: Детские
Копилка "Лаванда", 16x21 см.
Копилка поможет Вам наконец-то собрать требуемую сумму для покупки долгожданной вещицы. Регулярно удалять пыль сухой, мягкой
343 руб
Раздел: Копилки
Набор детской посуды "Авто", 3 предмета.
Набор посуды для детей включает в себя три предмета: суповую тарелку, обеденную тарелку и кружку. Набор упакован в красочную, подарочную
397 руб
Раздел: Наборы для кормления

33. Геометрия эмоций

34. Геометрия

35. Аналитическая геометрия

36. Двойной интеграл в механике и геометрии

37. Билеты по геометрии

38. Билеты по геометрии
39. Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве
40. П.К. Соболевский – основоположник геометрии недр

41. Проектирование и разработка электронного учебного курса по дисциплине "Начертательная геометрия, инженерная графика"

42. Геометрия места точек на плоскости

43. Гиперболическая геометрия

44. Живая геометрия

45. Место прямой в начертательной геометрии

46. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

47. Викладення теми "Трикутники" по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи

48. Организация процесса повторения в курсе геометрии 7-9 классов

Кран башенный.
Тяжелые колеса из ПВХ играют роль инерционного движителя. Стрела поворачивается, трос наматывается на барабан с трещоткой, человечек
499 руб
Раздел: Подъёмные краны, автокраны
Статуэтка "Мисс кокетливость", 10x9x29 см.
Статуэтка - это отличный вариант подарка. Красивый продуманный дизайн и высокое качество фабричного производства непременно порадуют
1485 руб
Раздел: Миниатюры
Кружка "Вязанная", синяя.
Долгими зимними вечерами, в осеннюю слякоть или весеннюю распутицу приятно согреться кружкой чего-нибудь горячего, особенно, если она тоже
378 руб
Раздел: Кружки

49. Изучение конструкции и геометрии токарных резцов

50. Понятие социальной структуры и социального пространства

51. Аналитическая геометрия Декарта и проблемы философии техники

52. Сакральная геометрия духовного человека

53. Геометрія молекул

54. Международное сотрудничество в освоении космического пространства
55. Россия. 21 век. Начало строительства (инфраструктурный комплекс как фактор организации экономического пространства России)
56. Понятие государственного бюджета (Доклад)

57. Понятие опровержения и способы опровержения

58. Правонарушения и преступления. Понятия и виды

59. Понятие и принципы административной ответственности

60. Авторский договор: понятие и виды

61. Договор купли-продажи, договор имущественного найма, понятие и виды договора перевозки грузов

62. Понятие договора, классификация

63. Понятие договора найма по Закону о договорных и внедоговорных обязанностях

64. Понятие и виды обязательств, возникающих вследствие причинения вреда

Стиральный порошок-концентрат для белого белья BioMio "Bio-white" с экстрактом хлопка, без запаха, 1,5.
Эффективно удаляет пятна и загрязнения, не повреждая волокна ткани. Концентрированная формула обеспечивает экономичный расход. Идеально
447 руб
Раздел: Стиральные порошки
Вантуз вакуумный "PRO Pump", с двумя адаптерами.
Вантуз вакуумный STAYER PROPump, применяется для прочистки засоров в канализационных трубах гидравлическим ударом. Вакуумный вантуз STAYER
674 руб
Раздел: Вантузы
Лента безопасности Lubby, мягкая, универсальная "особо широкая", 2 метра.
Мягкая универсальная лента: 2 метра, идеальна для краёв кроватки, столов и для острых углов удобно регулировать нужную длину, надежное
440 руб
Раздел: Безопасность ребенка

65. Обязательства: понятия и виды

66. Понятие Иска. Виды исков

67. Понятие и состав земель промышленности и иного назначения

68. Развитие общего понятия и системы преступлений от Русской Правды к Судебнику 1497 г. (Контрольная)

69. Понятие и виды обращения граждан /Украина/

70. Понятие трудового права. Предмет науки трудового права
71. Понятие государственного режима
72. Понятие, содержание и принципы исполнительной власти

73. Понятие и содержание основ конституционного строя РФ

74. Понятие международного гуманитарного права

75. Понятие и структура компетенции местного самоуправления

76. Государственный долг: понятие, состав и его обслуживание (по Казахстану)

77. Понятие вещных прав, виды и т.п.

78. Правовое государство. Понятие и основные черты. Правовой статус товарной и фондовой биржи

79. Понятие права и правовой нормы. Виды и структура правовой нормы. Понятие и виды юридической ответственности

80. Понятие правонарушений и их виды

Стиральный порошок "INDEX", универсал, 6000 грамм.
Предназначение: для стирки изделий из хлопчатобумажных, льняных, синтетических тканей, а также тканей из смешанных волокон (кроме изделий
1024 руб
Раздел: Стиральные порошки
Карандаши цветные "Kores", 36 цветов, с точилкой.
Цветные карандаши имеют насыщенные цвета. Шестигранная форма корпуса снижает усталость и придает дополнительный комфорт. Мягкий грифель.
622 руб
Раздел: Более 24 цветов
Подставка для колец Zoola "Кошка", хром.
Серия стильных и функциональных держателей для украшений от Umbra. Они предназначены как для хранения украшений, так и общего декора
590 руб
Раздел: Подставки для украшений

81. Понятие права, и современный подход к типологии права

82. Понятие и классификация договоров в римском праве

83. Понятие и виды договоров в Римском частном праве

84. Понятие правоспособности, её статусы и изменения

85. Биржа: понятие и значение

86. Понятие и задачи таможенного оформления, порядок производства
87. Соотношение понятий "система права" и "правовая система"
88. Форма правления, понятие и виды

89. Государство: понятие, признаки, формы правления и функции

90. Понятие и принципы правового государства

91. Понятие права и признаки правового государства

92. Правоотношения, понятия и их содержания

93. Реализация норм права: понятие и формы

94. Правоотношения: понятие, признаки и виды

95. Трудовой договор (контракт): понятие, стороны и содержание

96. Трудовые правоотношения: понятие, содержание, основания возникновения, изменения и прекращения

Конструктор металлический для уроков труда №3, 292 элемента.
Конструктор металлический имеет в своем составе 292 детали, из которых можно собрать 5 моделей - наибольшее количество в серии
392 руб
Раздел: Магнитные и металлические конструкторы
Электроминикар Tokids "Лев", цвет желтый.
Помимо того, что каталка может развивать моторные функции, научиться управлять своим собственным маленьким автомобильчиком, она также
1261 руб
Раздел: Электромобили
Карандаши цветные "Color'Peps", треугольный корпус, 36 цветов.
Карандаши цветные из американской липы, треугольные, ударопрочный грифель. В наборе: 36 цветов.
668 руб
Раздел: Более 24 цветов

97. Понятие и виды материальной ответственности работников

98. Предмет и понятие финансового права

99. Концепт "Дружба" в английском языковом пространстве


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.