|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Группы симметрий квадрата и куба |
Наклейки для поощрения "Смайлики 2". 
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый. Группы симметрий квадрата и куба О.А.Котий , Т.Л.Агафонова Хорошо знакомая школьнику фигура квадрат имеет четыре оси симметрии и центр симметрии (рис. 1). Это означает, что существует пять движений плоскости: четыре осевые симметрии и одна центральная, при которых квадрат отображается на себя. При этом некоторые вершины поменяются местами, а некоторые останутся неподвижными. Поставим более общую задачу: перечислить все движения, отображающие квадрат на себя. Легко увидеть, что таких преобразований 8. Кроме выше указанных четырех осевых симметрий есть еще четыре поворота вокруг центра O (на 0о, 90о, 180о). Сюда вошли и тождественное преобразование и центральная симметрия . Имеется более общее понятие, чем множество преобразований фигуры в себя - группа симметрий фигуры. Это такое множество преобразований, отображающих фигуру на себя, которые можно перемножать так, чтобы выполнялись привычные свойства умножения чисел. Произведение преобразований a и b (ab) - это преобразование, полученное в результате последовательного выполнения преобразований a, b. При таком определении умножения преобразований выполняются свойства. Существует "единица" умножения - это тождественное преобразование e такое, что преобразования ea и ae совпадают с преобразованием a. Каждое преобразование a имеет обратное a-1 такое, что aa-1 = a-1a = e. При умножении трех преобразований a, b и c преобразования можно объединять попарно разными способами, то есть выполняется ассоциативный закон. (ab) c = a (bc). Отсюда, при умножении нескольких множителей скобки можно не ставить. В отличие от умножения чисел коммутативный закон для умножения преобразований не обязательно выполняется. Например. Пусть a и b (рис. 2) - осевые симметрии (для краткости в дальнейшем слово осевая будем опускать). Преобразование ab отображает: A D B, B C C. Сторона AB перешла в BC; центр О остался неподвижным. ab - это поворот вокруг центра О на 90о. Аналогично проверяется, что преобразование ba есть поворот в обратную сторону, на -90о, то есть ab ba. Таким образом, перечисленные выше 8 преобразований образуют некоммутативную группу симметрий квадрата (G2). Четыре поворота вокруг центра О на 0о, 90о, 180о также образуют группу - это подгруппа группы симметрий квадрата, так как при умножении поворотов снова получается поворот, угол поворота которого равен сумме углов поворота сомножителей (с точностью до 360о). Эта подгруппа порождается поворотом на 90о (): , , . Это циклическая группа Z4 { r, r2, r3, r4 = e }. Она состоит из степеней одного порождающего ее элемента. Очевидно, r2 есть центральная симметрия z, r3 = r -1. Симметрия a (рис. 2) порождает подгруппу Z2 { a, a2 = e }. Две симметрии a и c, оси которых перпендикулярны (рис. 3) порождают нециклическую подгруппу из четырех элементов: двух осевых симметрий и одной центральной: { a, c, ac = z, a2 = e }. В силу того, что умножение двух симметрий дает поворот на удвоенный угол между осями, можно проверить, что правила умножения для этой группы таковы.
Произведение любых двух симметрий равно третьей симметрии, а квадраты их равны тождественному преобразованию (табл. 1). Группу с такой таблицей умножения называют четверной группой Клейна (K4) (Феликс Клейн (1849 - 1925 гг.) - немецкий математик). Эта группа также как и циклическая (Z4) коммутативна. Замечание. Группа симметрий квадрата G2 порождается двумя симметриями a, b (рис. 2). G2 { a, b, ab, ba, aba, bab, abab, a2 = e }, где aba, bab - симметрии, abab - центральная симметрия z. Используя равенства a2 = b2 = e, abab = baba, можно упростить любое произведение, составленное из сомножителей a и b. Например, ababa = (baba) a = (bab) a2 = bab - симметрия c. Коммутатор. Коммутант Произведение aba-1b-1 называют коммутатором преобразований a и b. Обозначается = aba-1b-1 = (ba)a-1b-1 = b(aa-1)b-1 = beb-1 = bb-1 = = e. Если преобразования a и b не перестановочны, то e. Коммутаторы всех пар преобразований группы порождают группу, которая называется коммутантом группы. Для коммутативной группы коммутант тривиален, он состоит из единицы группы. Таким образом, коммутант в некотором смысле является "мерой некоммутативности" группы. Вычислим коммутант группы симметрий квадрата (G2). Чтобы не перебирать все пары, пойдем по такому пути, который будет использован в дальнейшем при исследовании группы симметрий куба. С квадратом ABCD жестко свяжем два вектора e1, e2 (рис. 4). При любом преобразовании квадрата пара векторов (e1, e2) займет новое положение, обозначим его символом: ( ei, ej) (i, j = 1,2; i j). Имеется всего восемь символов: ( e1, e2); ( e2, e1). Каждому преобразованию квадрата отвечает свой символ. Пример: тождественному преобразованию e - (e1, e2), центральной симметрии z - (-e1, -e2), симметриям b, c - (e2, e1), (-e1, e2), повороту r - (e2, -e1). Способ умножения символов покажем на примере. (-e1, e2) (-e2, -e1). В первом преобразовании e1 -e1. Во втором преобразовании e1 -e2, тогда -e1 e2. Аналогично e2 e2 -e1. Окончательно (-e1, e2) (-e2, -e1) = (e2, -e1). (e2, e1) (e2, -e1). В первом преобразовании e1 e2, а во втором преобразовании e2 -e1. Аналогично e2 e1 e2. Окончательно (e2, e1) (e2, -e1) = (-e1, e2). Упражнение. Проверьте, что 1. ( e1, e2) ( , ) = ( , ), 2. ( e2, e1) ( , ) = ( , ), где ( , ) - символ любого из восьми преобразований квадрата. Из этих примеров следует, что при умножении четного числа преобразований ( e2, e1) в произведении получается символ с натуральным порядком индексов векторов, а при нечетном - получается символ с обратным порядком векторов. Число минусов в результате будет иметь такую же четность, как сумма числа минусов всех сомножителей.
Упражнение. Проверьте, что 1. ( e1, e2)-1 = ( e1, e2), 2. ( 2e2, 1e1)-1 = ( 1e2, 2e1), где i = 1. Отсюда вывод, что символ обратного преобразования имеет то же число минусов, что и данное, и такую же последовательность индексов. Вернемся к коммутатору = aba-1b-1. С учетом следствий, вытекающих из предыдущих упражнений, число символов вида ( e2, e1) в коммутаторе всегда четно. Отсюда следует, что в символе коммутатора индексы векторов идут в натуральном порядке и имеется либо два минуса, либо ни одного. А это значит, что коммутаторами группы симметрий квадрата могут быть только (e1, e2) и (-e1, -e2). Например, в силу коммутативности произведения симметрий a, c (рис. 4) их коммутатор = e, то есть (e1, e2). Легко проверить, что = z (рис. 4), то есть (-e1, -e2). Множество из коммутаторов { (e1, e2); (-e1, -e2) } уже образует группу, поэтому по определению оно является коммутантом группы симметрий G2. Коммутант от полученного коммутанта, в силу коммутативности группы есть единица e. Группа, обладающая свойством, что последовательность ее коммутантов приводит к группе, состоящей из одной единицы, называется разрешимой. Таким образом, группа симметрий квадрата разрешима. Группа симметрий куба Изучим теперь группу симметрий куба и выясним, разрешима она или нет? Для этого используем символику, введенную в предыдущем параграфе. С кубом жестко свяжем три вектора e1, e2, e3 (рис. 5). При любом преобразовании куба тройка векторов (e1, e2, e3) займет новое положение ( ei, ej, ek) (i, j, k = 1, 2, 3; i j k, i k). Каждому преобразованию куба отвечает свой символ, верно и обратное. Одни из них будут обозначены символом, полученным перестановкой четного числа векторов (циклической). Это: (e3, e1, e2) - соответствует повороту вокруг оси DB1 на 120о (рис. 6) (две перестановки: e2 с e3 и e3 с e1); (e2, e3, e1) - соответствует обратному повороту (на -120о) (две перестановки: e1 с e3 и e3 с e2); (e1, e2, e3) - тождественному преобразованию (нуль перестановок). Другие преобразования будут обозначены символом, полученным нечетным числом перестановок. Это символы, соответствующие плоскостным симметриям: Например, (e2, e1, e3) - симметрия относительно плоскости BB1D1D (рис. 7) (одна перестановка: e1 и e2). В соответствии с числом перестановок будем называть символы (e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1) четными, а символы (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) - нечетными. Но в каждом символе могут присутствовать знаки минус (-) (один, два или три). Например: (e1, e2, e3) - тождественное преобразование e, (-e1, -e2, -e3) - центральная симметрия относительно центра, (-e1, e2, e3), (e1, -e2, e3), (e1, e2, -e3) - плоскостные симметрии относительно плоскостей a, b, c (рис. 8), (-e1, -e2, e3), (-e1, e2, -e3), (e1, -e2, -e3) - осевые симметрии относительно осей, параллельных соответственно векторам e3, e2, e1. Итак, для трех векторов существует 6 перестановок и в каждой перестановке можно 8-ью способами расставить знаки ( ), (-).
Греко-Бактрийское царство. ТОХАРСКИЕ ЯЗЫКИ - группа вымерших родственных языков, относятся к индоевропейской семье языков. Самоназвание носителей тохарских языков неизвестно, поэтому один из тохарских языков называют "тохарский А" ("восточно-тохарский"), другой - "тохарский Б" ("западно-тохарский"). Письменность (рукописи 5-8 вв., переводы буддийской литературы и надписи) на основе особой разновидности брахми. ТОХАРЫ -..1) народ, обитавший в Ср. Азии во 2 в. до н. э. - 1-м тыс. н. э...2) Условное название народа, носителя тохарских языков. ТОХТАМЫШ (?-1406) - потомок хана Джучи, хан Золотой Орды с 1380. В 1382 организовал поход в русские земли. В войне с Тимуром (1389-95) потерпел поражение. В 1398-99 разбит ханом Заволжской Орды Темир-Кутлуем. ТОЧЕНИЕ (токарная обработка) - обработка поверхностей тел вращения резанием. Характеризуется вращательным движением заготовки (главное движение) и поступательным движением инструмента - резца (подача). ТОЧЕЧНАЯ ГРУППА СИММЕТРИИ (класс симметрии) - совокупность всех преобразований симметрии (поворотов, отражений и т. д.), совмещающих данный объект (кристалл, молекула) с самим собой и оставляющих у него при этом хотя бы одну неподвижную точку
2. Концепция современного естествознания на тему "симметрия кристаллов"
4. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling
5. Реферат по книге Фернана Броделя
9. "Русский Тарзан" (реферат о российском пловце Александре Попове)
10. "Камю", "Сартр", "Шопенгауэр", "Ясперс", "Фромм" (Рефераты, доклады по философии)
11. Реферат по информационным системам управления
12. Генезис капитализма в Мексике. Реферат по истории экономики
13. Реферат по книге Н. Цеда Дух самурая - дух Японии
14. Реферат по теме “Человек на войне”
15. Реферат по биографии Виктора Гюго
16. Симметрии многогранника системы независимости
Вкладыши "Лето". 
Конструктор металлический для уроков труда №2. 
Машина-каталка Ламбо "Розовая Принцесса". 17. Реферат - Социальная медицина (ЗДРАВООХРАНЕНИЕ КАК СОЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА)
18. Реферат - Физиология (строение и функции гемоглобина)
20. Реферат монографии А.А. Смирнова Проблемы психологии памяти
21. Сборник рефератов о конфликтах
25. Реферат о прочитаной на немецком языке литературы
26. Реферат для выпускных экзаменов
27. Реферат по ОБЖ, Тема: СПИД
28. Реферат о США
29. Симметрия в неживой природе
30. Проявление симметрии в различных формах материи
Бутылочка для кормления "Avent", 260 мл. 
Глобус детский зоогеографический, с подсветкой, 210 мм. 
Настольная игра "Loonacy". 33. Законы сохранения симметрии
34. Реферат Политико-правовые взгляды М.М. Сперанского и Н.М. Карамзина
35. Законы сохранения и симметрия
41. Математика в Элладе. Фалес Милетский
42. История творчества группы "Ария"
43. Творчество рок-группы Led-Zepp
44. Творчество группы "Мельница"
45. Борисов-Мусатов и художники группы "Наби"
46. Математики эпохи возрождения
47. Разработка системы задач (алгоритмы-программы) по дискретной математике
Кружка "Лучший Папа", с рисунком. 
Кондиционер для белья "Mitsuei", с ароматом белых цветов, 2 л. 
Шторка антимоскитная универсальная, с магнитными замками ТД7-009. 51. Дискретная математика: "Графы"
52. Расчетно-графическая работа по специальным главам математики
57. Великий математик России Николай Иванович Лобачевский
59. Высшая математика (шпаргалка)
61. Дискретная математика (Конспекты 15 лекций)
62. Методические указания по курсу "Математика" для студентов I курса исторического факультета
63. Высшая математика, интегралы (шпаргалка)
64. Методы обучения математике в 10 -11 класах
Деревянная рамка для картин, белая с золотом, 40x50 см. 
Набор детской посуды "Корова", 3 предмета. 
Мозаика, 654 элемента. 67. Шпаргалка по высшей математике
68. Устный счет как средство повышения интереса к уроку математики
69. Известные математики (Софья Васильевна Ковалвская)
73. Новые информационные технологии обучения в математике
74. Кодеин - вещество (алкалоид) из группы опиатов
75. Четыре группы крови - четыре пути к здоровью
76. Психология преступной группы
77. Развитие продуктивного мышления на уроках математики
79. Дети "группы риска" как социально-педагогическая проблема
80. Развитие самостоятельности школьников при обучении математики
Настольная игра "Четыре времени года". 
Настольная игра "Чудовище Джио-Джанги". 81. Активные формы работ на уроках математики
82. Устный счет как средство повышения интереса к уроку математики
83. Реализация эвристического обучения учащихся на уроках математики
84. Геометрический материал на уроках математики (наглядность)
85. Новые информационные технологии обучения в математике
89. Влияние эмоциональной тревожности ребенка на его статусное положение в группе
90. Малые группы в социальной психологии
91. О психологии семьи как малой группы
92. Психология преступной группы
93. Оценка работоспособности молодняка русской верховой породы разных групп кровности
94. Понятие социальной группы. Классификация социальных групп
95. Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства
96. Соотношение интуитивного и логического в математике (философия)
Настольная игра "Земляничные тропинки". 
Счеты "Математика". 
Подарочная расчёска для волос "Полина". 97. Применение химических веществ группы углеводов в росписи тканей
98. Промышленно-финансовые группы (ПФГ) в Украине
99. Как сформировать эффективную рабочую группу?
Совок большой. 
Брелок-сердечко. 
