|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Методы решения систем линейных уравнений |
Фонарь желаний бумажный, оранжевый. 
Брелок LED "Лампочка" классическая. 1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Задачи аппроксимации функции, а также множество других задач прикладной математики м вычислительной физики сводятся к задачам о решении систем линейных уравнений. Самым универсальным методом решения системы линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, называемый методом Гаусса. Для иллюстрации смысла метода Гаусса рассмотрим систему линейных уравнений: (1) Эту систему запишем в матричном виде: (2) Как известно, обе части уравнения можно умножить на ненулевое число, а также можно из одного уравнения вычесть другое. Используя эти свойства, постараемся привести матрицу системы (2) к треугольному виду, т.е. к виду, когда ниже главной диагонали все элементы – нули. Этот этап решения называется прямым ходом. На первом шаге прямого хода умножим первое уравнение на и вычтем из второго, тогда исключится переменная из второго уравнения. Затем, умножим первое уравнение на и вычтем из третьего, тогда система (2) преобразуется в систему вида: (3) На втором шаге прямого хода из третьего уравнения исключаем , т.е. из третьего уравнения вычитаем второе, умноженное, на , что приводит систему (3) к треугольному виду (4) (4) Систему (4) переписываем в привычном виде: (5) Теперь, из системы (5) можем находить решение в обратном порядке, т.е. сначала находим из третьего уравнения , далее, подставляя во второе уравнение, находим . Подставляя и в первое уравнение системы (5), находим . Нахождение решения из системы (5) называют обратным ходом. Теперь, на основе рассмотренного примера, составим общий алгоритм метода Гаусса для системы: (6) Метод Гаусса состоит из двух этапов: а) прямой ход – когда матрица системы (6) приводится к треугольному виду; б) обратный ход – когда последовательно вычисляются неизвестные в обратном порядке, т.е. в последовательности: . а) Прямой ход: для приведения системы (6) к треугольному виду, уравнения с ненулевыми коэффициентами при переменной переставляются таким образом, чтобы они были выше, чем уравнения с нулевыми коэффициентами . Далее, вычитаем первое уравнение, помноженное на , из второго уравнения, вычитаем первое уравнение, помноженное на , из третьего уравнения и т.д. В общем, вычитаем первое уравнение, помноженное на , из - го уравнения при , если . Вследствие этой процедуры, мы обнулили все коэффициенты при переменной в каждом из уравнений, начиная со второго, т.е. система (6) принимает вид: (7) Далее, применяем туже самую процедуру, для уравнений системы (7), начиная со второго уравнения, т.е. первое уравнение исключается из «игры». Теперь стараемся обнулить коэффициенты при переменной , начиная с третьего уравнения и т.д., пока не приведём систему к треугольному виду. Если , то система всегда приводима (теоретически) к треугольному виду. Общий алгоритм прямого хода можно представить в виде: (8) б) Обратный ход: Вычисляем неизвестные по формулам: (9) Замечание: для вычисления определителя системы можно использовать треугольную форму полученной матрицы, тогда определитель этой матрицы равен произведению диагональных элементов, т.е
. (10) 2. Метод Гаусса с выбором главного элемента Метод Гаусса настолько универсален, что для некоторых систем получаются практически «плохие» результаты, поэтому разрабатываются различные хитрые выходы из ситуации. В случае, когда некоторые коэффициенты матрицы системы близки между собой, как известно относительные погрешности сильно возрастают при вычитании, поэтому классический метод Гаусса даёт большие погрешности. Чтобы обойти эту трудность, стараются в прямом ходе Гаусса выбрать то уравнение, у которого коэффициент при максимален и в качестве основного «игрока» выбирают именно это уравнение, тем самым обходя трудности вычитания близких чисел (если это возможно). Далее, когда нужно обнулить все коэффициенты переменной , кроме одного уравнения – этим особым уравнением опять выбирают то уравнение, у которого коэффициент при максимальный и т.д., пока не получим треугольную матрицу. Обратный ход происходит так же, как и в классическом методе Гаусса. 3. Оценка погрешности при решении системы линейных уравнений Для того, чтобы оценить погрешности вычислений решения системы линейных уравнений, нам нужно ввести понятия соответствующих норм матриц. Прежде всего, вспомним три наиболее часто употребляемые нормы для вектора : (11) (Евклидова норма)(12) (Чебышевская норма)(13) Для всякой нормы векторов можно ввести соответствующую норму матриц: (14) которая согласована с нормой векторов в том смысле, что (15) Можно показать, что для трёх приведённых выше случаев нормы матрицы задаются формулами: (16) (17) (18) Здесь - являются сингулярными числами матрицы , т.е. это положительные значения квадратных корней - матрицы (которая является положительно-определённой матрицей, при ). Для вещественных симметричных матриц - где - собственные числа матрицы . Абсолютная погрешность решения системы: (19) где - матрица системы, - матрица правых частей, оценивается нормой: (20) Относительная погрешность оценивается по формуле: (21) где . 4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений, которая плохо решается методами Гаусса. Перепишем систему уравнений в виде: (22) где - заданная числовая матрица -го порядка, - заданный постоянный вектор. 4.1 Метод простой итерации Якоби Этот метод состоит в следующем: выбирается произвольный вектор (начальное приближение) и строится итерационная последовательность векторов по формуле: , (23) Приведём теорему, дающую достаточное условие сходимости метода Якоби. Теорема. Если , то система уравнений (22) имеет единственное решение и итерации (23) сходятся к решению. Легко заметить, что эта теорема является простым обобщением теоремы о сжатых отображениях изученных нами раньше для одношагового итерационного процесса в общем виде. Все оценки, полученные ранее, переносятся и для системы уравнений, разница лишь в понятиях соответствующих норм. Обобщая метод простой итерации Якоби для случая системы уравнений: (24) Строим алгоритм решения: а) переписываем уравнение (24) в однородном виде и умножаем на постоянную - которую далее найдём из условий сходимости итерационного процесса: (25) б) добавляем к обеим частям (25) и получаем: (26) в) строим итерационную формулу Якоби: (27) где постоянную находим из условий сходимости итерационного процесса (27), который в данном случае имеет вид: (28) где - вектор-функция из (26) или исходя из теоремы о сжатых отображениях , где - единичная матрица.
Рассмотрим числовой пример: Пусть имеем систему уравнений: Переписываем систему в виде: Составляем итерационную формулу: Коэффициент выбираем из условий: , т.е. . 4.2 Метод Гаусса-Зейделя Для решения линейной системы уравнений разработано множество итерационных методов. Тем более, что метод простой итерации Якоби сходится медленно. Одним из таких методов является метод Гаусса-Зейделя. Для иллюстрации метода рассмотрим числовой пример: (29) Уравнения переписаны таким образом, что на главной диагонали стоят максимальные для каждого уравнения коэффициенты. Начинаем с приближения . Используя первое уравнение, находим для новое значение при условии . (30) Беря это значение и из второго уравнения, находим , далее из третьего уравнения находим , . Эти три величины дают новое приближение и можно повторить цикл с начала, получаем: , , и т.д. Итерации продолжаются до выполнения неравенства . Общий алгоритм метода Гаусса-Зейделя имеет вид: Пусть (31) где у матрицы - все диагональные элементы отличны от нуля, т.е. (если , тогда переставляем строки так, чтобы добиться условия ). Если -ое уравнение системы (31) разделить на , а затем все неизвестные кроме - перенести в правую часть, то мы придём к эквивалентной системе вида: (32) где , , (33) Метод Гаусса-Зейделя состоит в том, что итерации производятся по формуле: (34) где - номер итерации, а . Замечание: для сходимости метода (34) достаточно выполнения хотя бы одного из условий: а) , (35) б) - симметричная и положительно-определённая матрица. 5. Решение системы линейных уравнений методом Ритца Если - симметричная и положительно-определённая матрица, то задача решения линейной системы уравнений: (36) эквивалентна задаче нахождения точки минимума функции многих переменных: (37) где скалярные произведения понимаются в смысле , т.е. (38) Иначе говоря, решение системы линейных уравнений (36) доставляет минимум функции многих переменных: (39) И наоборот, точка минимума функции (39) является решением системы линейных уравнений (36). Таким образом, метод Ритца позволяет решение линейной системы уравнений с симметричной и положительно-определённой матрицей свести к задаче нахождения точки минимума функций многих переменных. А эту задачу мы уже умеем решать. 6. Решение системы линейных уравнений с трехдиаганальной матрицей методом прогонки Томаса При решении задач конечно-разностными методами или методом конечных элементов, часто решение задачи сводится к решению линейной системы уравнений с трехдиаганальной матрицей коэффициентов, т.е. с матрицей, где все элементы нули, кроме трех диагоналей (в окрестности главной диагонали); рассмотрим систему с трехдиаганальной матрицей: (40) для решения этой линейной системы уравнений, конечно, можно применять метод Гаусса, но тогда пришлось бы делать много необязательных операций с нулями. Чтобы сэкономить время вычислений и не работать лишний раз с нулями, Томас (1949г.) разработал специальный алгоритм расчета. Рассчитывая по алгоритму Томаса элементы получаемой треугольной матрицы, мы следуем методу Гаусса, с уточнением, что с нулями никаких действий не производим; алгоритм Томаса называют – методом прогонки.
Рассмотрим их применение в наглядных примерах. На рис. 9.14 представлены примеры на применение функции VectorSumPlot, показывающие расположение векторов на плоскости (первый пример) и в пространстве, а также дающее построение результирующего вектора. Рис. 9.14. Иллюстрация сложения векторов на плоскости и в пространстве Действие функции вычисления кросс-произведения векторов и построение плоскости в которой находятся векторы демонстрирует рис. 9.15. Для визуализации этих понятий используются функции Cross Product Plot и PlanePlot. Рис. 9.15. Визуализация кросс-произведения векторов и построение плоскости векторов Довольно часто используется понятие о проекции вектора на прямую или на плоскость. Эти возможности реализует функция Projection Plot. Примеры ее применения представлены на рис. 9.16. Рис. 9.16. Визуализация проекции вектора на прямую и на плоскость Важное значение имеет визуализация решения систем линейных уравнений. Для этого используется функция LinearSystemPlot. Примеры ее применения для визуализации решения систем из двух и трех уравнений представлены на рис. 9.17. Рис. 9.17
1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
2. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
3. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
4. Численные методы решения систем линейных уравнений
5. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
9. Разработка программы для решения систем линейных уравнений
11. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
13. Руководитель: стили и методы управления /на примера АО "Вятский торговый дом"/
14. Деньги, банковская система и денежно-кредитная политика /на примере США/
16. Методы поиска информации в сети интернет. Информационно-поисковые системы
Качели, подвесные. 
Насос ножной (арт. TD 0468). 
Игра настольная развивающая "Весёлый транспорт". 17. Решение систем дифференциальных уравнений
18. Анализ и проектирование системы мотивации деятельности на предприятии (на примере ООО "Пять звезд")
19. Анализ системы управления человеческими ресурсами организации (на примере ОАО АИКБ "Татфондбанк")
20. Рекомендации по использованию социально-психологических методов управления на примере ОАО "Автоваз"
21. Совершенствование системы найма и отбора персонала (на примере ОАО "СИБИРЬТЕЛЕКОМ")
26. Организация системы оплаты труда на предприятии (на примере Азовского филиала ООО "ЭЛИД""
27. Анализ методов ценообразования на примере ООО "Торгсервис"
28. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
29. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
31. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса
Стиральный порошок "Сарма. Актив. Ландыш", универсал, 2400 грамм. 
Шар для принятия решений. 
Переносная люлька-кокон Фея, цвет: серо-голубая, арт: ФЕЯ_0005605-5. 33. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)
34. Разработка программы решения системы линейных уравнений
35. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
36. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
37. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
41. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
42. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
44. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
45. Методы решения уравнений в странах древнего мира
46. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
47. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
48. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
Универсальные сменные пакеты для дорожного горшка, 15 штук. 
Ручка перьевая "Silk Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус черный/хром. 
Средство для мытья посуды Finish "All in 1 Shine&Protect", (лимон), 65 штук. 49. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
51. Системы и методы калькулирования себестоимости. Расчет себестоимости на примере ячеек КРУ
52. Методы решения уравнений в странах древнего мира
53. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
57. Решение задач линейного программирования симплекс методом
58. Решение линейных интегральных уравнений
59. Симплекс метод решения задачи линейного программирования
60. Термины и определения логистики. Пример простой логистической системы
61. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка
62. Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом
63. Система линейных уравнений
64. Методы решения алгебраических уравнений
Подгузники Huggies Elite Soft, (1), до 5 кг, 84 штуки. 
Фломастеры смываемые "Jungle", 24 цвета. 
Набор столовый детский "Антошка" (4 предмета). 65. Методы оптимизации при решении уравнений
66. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования
67. Решение оптимизационных управленческих задач на основе методов и моделей линейного программирования
68. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений
69. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/
73. Система научно-технического перевода (пример перевода программой PROMT Гигант)
74. Экспертные системы. Классификация экспертных систем. Разработка простейшей экспертной системы
75. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах
76. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)
77. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения
78. Парольные методы защиты информации в компьютерных системах от несанкционированного доступа
79. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
Набор детской складной мебели "Азбука" КУ2П/9. 
Записная книга "Bazar", А5, бирюзовая. 
Чехол для телефона - кошелек, 14.5x9х3.5 см. 81. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
82. Решение оптимизационной задачи линейного программирования
83. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
84. Решение задач линейного программирования
85. Решение задачи линейного программирования
89. Загрязнение атмосферы и решение этой проблемы на примере Санкт-Петербурга
91. Расчет линейных цепей методом топологических графов
92. Зарождение магии и ее отражение в монотеистических религиозных системах на примере Христианства
93. Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы
94. Проблемы и методы принятия решений
95. Методы экспертных оценок при разработке и принятии управленческих решений
96. Формирование системы сбытовой логистики на примере ЗАО "Ярославский хлебозавод №2"
Веселый колобок. 
Настольная композиция "Сад Дзен", 16x16x2 см. 
Ящик, 50 литров, 530x370x300 мм.
Совок большой. 
