Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Методы решения систем линейных уравнений

Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки

1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Задачи аппроксимации функции, а также множество других задач прикладной математики м вычислительной физики сводятся к задачам о решении систем линейных уравнений. Самым универсальным методом решения системы линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, называемый методом Гаусса. Для иллюстрации смысла метода Гаусса рассмотрим систему линейных уравнений: (1) Эту систему запишем в матричном виде: (2) Как известно, обе части уравнения можно умножить на ненулевое число, а также можно из одного уравнения вычесть другое. Используя эти свойства, постараемся привести матрицу системы (2) к треугольному виду, т.е. к виду, когда ниже главной диагонали все элементы – нули. Этот этап решения называется прямым ходом. На первом шаге прямого хода умножим первое уравнение на и вычтем из второго, тогда исключится переменная из второго уравнения. Затем, умножим первое уравнение на и вычтем из третьего, тогда система (2) преобразуется в систему вида: (3) На втором шаге прямого хода из третьего уравнения исключаем , т.е. из третьего уравнения вычитаем второе, умноженное, на , что приводит систему (3) к треугольному виду (4) (4) Систему (4) переписываем в привычном виде: (5) Теперь, из системы (5) можем находить решение в обратном порядке, т.е. сначала находим из третьего уравнения , далее, подставляя во второе уравнение, находим . Подставляя и в первое уравнение системы (5), находим . Нахождение решения из системы (5) называют обратным ходом. Теперь, на основе рассмотренного примера, составим общий алгоритм метода Гаусса для системы: (6) Метод Гаусса состоит из двух этапов: а) прямой ход – когда матрица системы (6) приводится к треугольному виду; б) обратный ход – когда последовательно вычисляются неизвестные в обратном порядке, т.е. в последовательности: . а) Прямой ход: для приведения системы (6) к треугольному виду, уравнения с ненулевыми коэффициентами при переменной переставляются таким образом, чтобы они были выше, чем уравнения с нулевыми коэффициентами . Далее, вычитаем первое уравнение, помноженное на , из второго уравнения, вычитаем первое уравнение, помноженное на , из третьего уравнения и т.д. В общем, вычитаем первое уравнение, помноженное на , из - го уравнения при , если . Вследствие этой процедуры, мы обнулили все коэффициенты при переменной в каждом из уравнений, начиная со второго, т.е. система (6) принимает вид: (7) Далее, применяем туже самую процедуру, для уравнений системы (7), начиная со второго уравнения, т.е. первое уравнение исключается из «игры». Теперь стараемся обнулить коэффициенты при переменной , начиная с третьего уравнения и т.д., пока не приведём систему к треугольному виду. Если , то система всегда приводима (теоретически) к треугольному виду. Общий алгоритм прямого хода можно представить в виде: (8) б) Обратный ход: Вычисляем неизвестные по формулам: (9) Замечание: для вычисления определителя системы можно использовать треугольную форму полученной матрицы, тогда определитель этой матрицы равен произведению диагональных элементов, т.е

. (10) 2. Метод Гаусса с выбором главного элемента Метод Гаусса настолько универсален, что для некоторых систем получаются практически «плохие» результаты, поэтому разрабатываются различные хитрые выходы из ситуации. В случае, когда некоторые коэффициенты матрицы системы близки между собой, как известно относительные погрешности сильно возрастают при вычитании, поэтому классический метод Гаусса даёт большие погрешности. Чтобы обойти эту трудность, стараются в прямом ходе Гаусса выбрать то уравнение, у которого коэффициент при максимален и в качестве основного «игрока» выбирают именно это уравнение, тем самым обходя трудности вычитания близких чисел (если это возможно). Далее, когда нужно обнулить все коэффициенты переменной , кроме одного уравнения – этим особым уравнением опять выбирают то уравнение, у которого коэффициент при максимальный и т.д., пока не получим треугольную матрицу. Обратный ход происходит так же, как и в классическом методе Гаусса. 3. Оценка погрешности при решении системы линейных уравнений Для того, чтобы оценить погрешности вычислений решения системы линейных уравнений, нам нужно ввести понятия соответствующих норм матриц. Прежде всего, вспомним три наиболее часто употребляемые нормы для вектора : (11) (Евклидова норма)(12) (Чебышевская норма)(13) Для всякой нормы векторов можно ввести соответствующую норму матриц: (14) которая согласована с нормой векторов в том смысле, что (15) Можно показать, что для трёх приведённых выше случаев нормы матрицы задаются формулами: (16) (17) (18) Здесь - являются сингулярными числами матрицы , т.е. это положительные значения квадратных корней - матрицы (которая является положительно-определённой матрицей, при ). Для вещественных симметричных матриц - где - собственные числа матрицы . Абсолютная погрешность решения системы: (19) где - матрица системы, - матрица правых частей, оценивается нормой: (20) Относительная погрешность оценивается по формуле: (21) где . 4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений, которая плохо решается методами Гаусса. Перепишем систему уравнений в виде: (22) где - заданная числовая матрица -го порядка, - заданный постоянный вектор. 4.1 Метод простой итерации Якоби Этот метод состоит в следующем: выбирается произвольный вектор (начальное приближение) и строится итерационная последовательность векторов по формуле: , (23) Приведём теорему, дающую достаточное условие сходимости метода Якоби. Теорема. Если , то система уравнений (22) имеет единственное решение и итерации (23) сходятся к решению. Легко заметить, что эта теорема является простым обобщением теоремы о сжатых отображениях изученных нами раньше для одношагового итерационного процесса в общем виде. Все оценки, полученные ранее, переносятся и для системы уравнений, разница лишь в понятиях соответствующих норм. Обобщая метод простой итерации Якоби для случая системы уравнений: (24) Строим алгоритм решения: а) переписываем уравнение (24) в однородном виде и умножаем на постоянную - которую далее найдём из условий сходимости итерационного процесса: (25) б) добавляем к обеим частям (25) и получаем: (26) в) строим итерационную формулу Якоби: (27) где постоянную находим из условий сходимости итерационного процесса (27), который в данном случае имеет вид: (28) где - вектор-функция из (26) или исходя из теоремы о сжатых отображениях , где - единичная матрица.

Рассмотрим числовой пример: Пусть имеем систему уравнений: Переписываем систему в виде: Составляем итерационную формулу: Коэффициент выбираем из условий: , т.е. . 4.2 Метод Гаусса-Зейделя Для решения линейной системы уравнений разработано множество итерационных методов. Тем более, что метод простой итерации Якоби сходится медленно. Одним из таких методов является метод Гаусса-Зейделя. Для иллюстрации метода рассмотрим числовой пример: (29) Уравнения переписаны таким образом, что на главной диагонали стоят максимальные для каждого уравнения коэффициенты. Начинаем с приближения . Используя первое уравнение, находим для новое значение при условии . (30) Беря это значение и из второго уравнения, находим , далее из третьего уравнения находим , . Эти три величины дают новое приближение и можно повторить цикл с начала, получаем: , , и т.д. Итерации продолжаются до выполнения неравенства . Общий алгоритм метода Гаусса-Зейделя имеет вид: Пусть (31) где у матрицы - все диагональные элементы отличны от нуля, т.е. (если , тогда переставляем строки так, чтобы добиться условия ). Если -ое уравнение системы (31) разделить на , а затем все неизвестные кроме - перенести в правую часть, то мы придём к эквивалентной системе вида: (32) где , , (33) Метод Гаусса-Зейделя состоит в том, что итерации производятся по формуле: (34) где - номер итерации, а . Замечание: для сходимости метода (34) достаточно выполнения хотя бы одного из условий: а) , (35) б) - симметричная и положительно-определённая матрица. 5. Решение системы линейных уравнений методом Ритца Если - симметричная и положительно-определённая матрица, то задача решения линейной системы уравнений: (36) эквивалентна задаче нахождения точки минимума функции многих переменных: (37) где скалярные произведения понимаются в смысле , т.е. (38) Иначе говоря, решение системы линейных уравнений (36) доставляет минимум функции многих переменных: (39) И наоборот, точка минимума функции (39) является решением системы линейных уравнений (36). Таким образом, метод Ритца позволяет решение линейной системы уравнений с симметричной и положительно-определённой матрицей свести к задаче нахождения точки минимума функций многих переменных. А эту задачу мы уже умеем решать. 6. Решение системы линейных уравнений с трехдиаганальной матрицей методом прогонки Томаса При решении задач конечно-разностными методами или методом конечных элементов, часто решение задачи сводится к решению линейной системы уравнений с трехдиаганальной матрицей коэффициентов, т.е. с матрицей, где все элементы нули, кроме трех диагоналей (в окрестности главной диагонали); рассмотрим систему с трехдиаганальной матрицей: (40) для решения этой линейной системы уравнений, конечно, можно применять метод Гаусса, но тогда пришлось бы делать много необязательных операций с нулями. Чтобы сэкономить время вычислений и не работать лишний раз с нулями, Томас (1949г.) разработал специальный алгоритм расчета. Рассчитывая по алгоритму Томаса элементы получаемой треугольной матрицы, мы следуем методу Гаусса, с уточнением, что с нулями никаких действий не производим; алгоритм Томаса называют – методом прогонки.

Рассмотрим их применение в наглядных примерах. На рис. 9.14 представлены примеры на применение функции VectorSumPlot, показывающие расположение векторов на плоскости (первый пример) и в пространстве, а также дающее построение результирующего вектора. Рис. 9.14. Иллюстрация сложения векторов на плоскости и в пространстве Действие функции вычисления кросс-произведения векторов и построение плоскости в которой находятся векторы демонстрирует рис. 9.15. Для визуализации этих понятий используются функции Cross Product Plot и PlanePlot. Рис. 9.15. Визуализация кросс-произведения векторов и построение плоскости векторов Довольно часто используется понятие о проекции вектора на прямую или на плоскость. Эти возможности реализует функция Projection Plot. Примеры ее применения представлены на рис. 9.16. Рис. 9.16. Визуализация проекции вектора на прямую и на плоскость Важное значение имеет визуализация решения систем линейных уравнений. Для этого используется функция LinearSystemPlot. Примеры ее применения для визуализации решения систем из двух и трех уравнений представлены на рис. 9.17. Рис. 9.17

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

2. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

3. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

4. Численные методы решения систем линейных уравнений

5. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

6. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
7. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
8. Способы решения систем линейных уравнений

9. Разработка программы для решения систем линейных уравнений

10. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

11. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

12. Применение методов управления запасами в целях повышения экономической эффективности системы материально-технического снабжения предприятия на примере ОАО "Амурский судостроительный завод"

13. Руководитель: стили и методы управления /на примера АО "Вятский торговый дом"/

14. Деньги, банковская система и денежно-кредитная политика /на примере США/

15. Совершенствование системы оплаты труда на предприятии (на примере ОАО «Кондитерский Концерн Бабаевский»)

16. Методы поиска информации в сети интернет. Информационно-поисковые системы

Качели, подвесные.
Эти подвесные качели можно разместить дома или на улице в любом удобном месте. Наш пластик прочен и долговечен, поэтому качели прослужат
381 руб
Раздел: Качели
Насос ножной (арт. TD 0468).
Насос механический ножной незаменимый помощник не только для автомобилистов, но и для любителей активного отдыха. Ведь с его помощью Вы
448 руб
Раздел: Насосы, компрессоры автомобильные
Игра настольная развивающая "Весёлый транспорт".
Обучающая игра пазл-липучка состоит из 5 игровых полей, заполняя которые, ребенок изучает названия и виды наземного транспорта, он учится
592 руб
Раздел: Формы, цвета

17. Решение систем дифференциальных уравнений

18. Анализ и проектирование системы мотивации деятельности на предприятии (на примере ООО "Пять звезд")

19. Анализ системы управления человеческими ресурсами организации (на примере ОАО АИКБ "Татфондбанк")

20. Рекомендации по использованию социально-психологических методов управления на примере ОАО "Автоваз"

21. Совершенствование системы найма и отбора персонала (на примере ОАО "СИБИРЬТЕЛЕКОМ")

22. Система мотивации труда управленческого персонала на примере конкретного предприятия
23. Совершенствование системы нормирования труда инженеров-программистов на примере "КБТЭМ-ОМО"
24. Система социальной поддержки малообеспеченных семей на примере Волгоградской области

25. Система экологического менеджмента нефтегазодобывающего предприятия на примере ООО "Лукойл - Западная Сибирь"

26. Организация системы оплаты труда на предприятии (на примере Азовского филиала ООО "ЭЛИД""

27. Анализ методов ценообразования на примере ООО "Торгсервис"

28. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

29. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

30. Методы вывода человека из бытовой депрессии с использованием общеизвестных направлений и методов научной психологии

31. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

32. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

Стиральный порошок "Сарма. Актив. Ландыш", универсал, 2400 грамм.
Стиральный порошок sarma active Ландыш для всех типов стирки предназначен для стирки изделий из хлопчатобумажных, льняных, синтетических
310 руб
Раздел: Стиральные порошки
Шар для принятия решений.
Волшебный шар для принятия решений на русском языке. Принцип действия: для начала нужно понять, на какой вопрос вы хотите получить ответ.
434 руб
Раздел: Прочее
Переносная люлька-кокон Фея, цвет: серо-голубая, арт: ФЕЯ_0005605-5.
Переносная люлька-кокон — это комфортная переноска для малыша. Модель с жестким дном и съемным капюшоном защитит ребенка от холода и
910 руб
Раздел: Переноски

33. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

34. Разработка программы решения системы линейных уравнений

35. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

36. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

37. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

38. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)
39. Решение нелинейного уравнения методом касательных
40. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

41. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

42. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

43. Современные методы решения экологических проблем на предприятии (на примере ООО "Волготрансгаз" - дочерней структуры ОАО "ГАЗПРОМ")

44. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

45. Методы решения уравнений в странах древнего мира

46. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

47. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

48. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

Универсальные сменные пакеты для дорожного горшка, 15 штук.
Отправляясь с ребенком в путешествие, важно позаботиться о том, чтобы под рукой всегда был горшок для малыша. С дорожными горшками
328 руб
Раздел: Прочие
Ручка перьевая "Silk Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус черный/хром.
Перьевая ручка Silk Prestige. Цвет корпуса: черный/хром. Материал корпуса: металл. Материал пера: иридий.
375 руб
Раздел: VIP-ручки
Средство для мытья посуды Finish "All in 1 Shine&Protect", (лимон), 65 штук.
Средство для посудомоечных машин с функцией "блеск и защита" обеспечивает сверкающую чистоту и блеск посуды, а также защищает
880 руб
Раздел: Для посудомоечных машин

49. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

50. План урока алгебры. Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.

51. Системы и методы калькулирования себестоимости. Расчет себестоимости на примере ячеек КРУ

52. Методы решения уравнений в странах древнего мира

53. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

54. Системы 2-х, 3-х линейных уравнений, правило Крамера
55. Феноменологическое обоснование формы линейного элемента шварцшильдова решения уравнений гравитационного поля ОТО
56. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

57. Решение задач линейного программирования симплекс методом

58. Решение линейных интегральных уравнений

59. Симплекс метод решения задачи линейного программирования

60. Термины и определения логистики. Пример простой логистической системы

61. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

62. Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом

63. Система линейных уравнений

64. Методы решения алгебраических уравнений

Подгузники Huggies Elite Soft, (1), до 5 кг, 84 штуки.
Подгузники Huggies Classic обеспечат надежную защиту вашего малыша. Детские подгузники стали еще удобнее. Благодаря дополнительному слою,
879 руб
Раздел: 0-5 кг
Фломастеры смываемые "Jungle", 24 цвета.
Фломастеры с заблокированным пишущим узлом, смываемые. Количество цветов: 24.
438 руб
Раздел: 13-24 цвета
Набор столовый детский "Антошка" (4 предмета).
Набор детских столовых приборов: - ложка столовая -1 шт; - вилка столовая - 1 шт; - нож столовый - 1 шт; - ложка чайная - 1
399 руб
Раздел: Ложки, вилки

65. Методы оптимизации при решении уравнений

66. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования

67. Решение оптимизационных управленческих задач на основе методов и моделей линейного программирования

68. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

69. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/

70. Проблемы реализации принципа разделения властей, действия системы сдержек и противовесов на примере Российской Федерации
71. Решение транспортной задачи методом потенциалов
72. Несанкционированный доступ к терминалам серверов с операционными системами семейства UNIX. На примере octopus.stu.lipetsk.ru

73. Система научно-технического перевода (пример перевода программой PROMT Гигант)

74. Экспертные системы. Классификация экспертных систем. Разработка простейшей экспертной системы

75. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах

76. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

77. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения

78. Парольные методы защиты информации в компьютерных системах от несанкционированного доступа

79. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

80. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

Набор детской складной мебели "Азбука" КУ2П/9.
В комплекте: - стол 580х600х450 мм, - стул мягкий 310х270х570 мм, - пенал большой 1 штука. При складывании стола, содержимое пенала
1637 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Записная книга "Bazar", А5, бирюзовая.
Записная книга на резинке. Формат: А5 (130x210 мм). Количество страниц: 192. Основной блок: линейка. Дополнительные разделы: телефоны,
577 руб
Раздел: Записные книжки
Чехол для телефона - кошелек, 14.5x9х3.5 см.
В Вашей необъятной сумке невозможно разыскать телефон или кошелек? Направляясь на ланч или шоппинг, Вам приходится брать с собой массивный
396 руб
Раздел: Сумочки для телефонов

81. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

82. Решение оптимизационной задачи линейного программирования

83. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

84. Решение задач линейного программирования

85. Решение задачи линейного программирования

86. Решение транспортной задачи методом потенциалов
87. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач
88. Предмет, понятие, метод и система криминологии

89. Загрязнение атмосферы и решение этой проблемы на примере Санкт-Петербурга

90. Политические аспекты деятельности предпринимательских структур: система взаимоотношений с органами власти, пути решений возникающих проблем; пути лоббирования

91. Расчет линейных цепей методом топологических графов

92. Зарождение магии и ее отражение в монотеистических религиозных системах на примере Христианства

93. Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы

94. Проблемы и методы принятия решений

95. Методы экспертных оценок при разработке и принятии управленческих решений

96. Формирование системы сбытовой логистики на примере ЗАО "Ярославский хлебозавод №2"

Веселый колобок.
Веселый колобок станет любимой игрушкой вашего малыша! Ребенок сможет катать его по полу, как мячик, и слушать забавные звуки и мелодии.
327 руб
Раздел: Прочие
Настольная композиция "Сад Дзен", 16x16x2 см.
Настольная композиция "Сад Дзен" станет необычным подарком для ценителей "заморской" Японской культуры. Время
510 руб
Раздел: Антистрессы
Ящик, 50 литров, 530x370x300 мм.
Ящик для хранения сэкономит место и поможет поддерживать идеальный порядок. Ящик без колес. Материал: пластик. Цвет: прозрачный. Объем: 50
640 руб
Раздел: Более 10 литров

97. Анализ и методы оценки конкурентоспособности товаров и услуг регионального рынка (На примере производства полиграфической продукции в Н. Новгороде)

98. Лабораторные работы по ЭММ (системы уравнений межотраслевого баланса; оптимизационная модель межотраслевого баланса)

99. Решение творческих задач методом блочных альтернативных сетей: объектно-ориентированные представления


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.