Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса

Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки
Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники

1. Постановка задачи При решении многих задач физики и других прикладных наук возникает необходимость вместо функции , рассматривать функцию , представляющую функцию как можно «хорошо». Например: может быть, в частности, и непрерывной функцией на , а соответствующая - алгебраическим или тригонометрическим многочленом, который «достаточно хорошо» приближает функцию . Например: всякую функцию из можно представить приближённо соответствующим многочленом степени с помощью формулы Тейлора: (1) т.е. ; (2) где , - многочлен степени , приближающий функцию , - остаточный член. Ясно, что (3) т.е. - характеризует абсолютную погрешность приближения функции многочленом в точке . Известно также, что можно приблизить с помощью тригонометрического многочлена – отрезка ряда Фурье. В утверждение, что функция хорошо приближает функцию на компакте , может быть вложен разный смысл. Например: а) можно потребовать, чтобы приближающая функция совпадала с в точках промежутка , т.е. выполнялись условия , для . Если - многочлен степени , то рассматриваемый процесс приближения называется параболическим интерполированием или процессом построения интерполяционного многочлена (частным примером является многочлен Лагранжа, т.е. ); б) функцию можно выбрать так, чтобы норма - отклонения невязки – достигала минимального значения, причём норма может быть определена по-разному, и разным нормам соответствуют различные степени приближения. В функциональном пространстве Гильберта , норме невязки имеет вид (интегральная норма Гаусса): (4) часто, в качестве нормы рассматривают Чебышевскую норму (Т – первая буква фамилии Чебышева на немецком языке): (5) При использовании нормы (5) говорят о равномерном приближении функции , функцией . Подробная теория Т-приближений была развита в работах немецкого математика Л. Коллатца. На практике, для оценки характера приближения, часто применяют метод наименьших квадратов, при котором невязка вычисляется по дискретной норме Гаусса: (6) Ясно, что метод наименьших квадратов (6) – является дискретным аналогом функции Гаусса (4). Принципиальную возможность приближения любой непрерывной функции многочленом даёт теорема Вейерштрасса: Если , тогда , - многочлен, что имеет место неравенство: (7) 2. Метод наименьших квадратов в случае приближения функции Мы ранее рассматривали задачу аппроксимации результатов неточного эксперимента линейной функцией . Сейчас рассмотрим общий случай, когда функция приближается некоторой системой линейно независимых функций . Как известно, для линейной независимости системы функций необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама этой системы был отличен от нуля, т.е.(8)где означают скалярные произведения. Тогда для приближения (аппроксимации) функции применяется линейная комбинация системы базисных функций, т.е.(9)В приближающей функции , неизвестными являются коэффициенты разложения , которые подбираются из условия минимума невязки, подсчитываемой по соответствующей норме. Вообще говоря, является элементом линейной оболочки, натянутой на систему базисных функций . 2.1 Квадратичное приближение таблично заданной функции по дискретной норме ГауссаРассмотрим задачу приближения функции в случае использования невязки в форме (6).

Т.е. используем дискретную норму Гаусса:(10) где неизвестная функция аппроксимируется функцией из (9). Для известны лишь значения в различных точках , т.е. , где . Таким образом, для определения имеем задачу: найти точку минимума - невязки функции Гаусса - для таблично заданной функции , если , (где ). (11) Очевидно, что условия минимума дискретной функции невязки Гаусса - имеют вид: , (12) Эти условия для (11) преобразуются к виду: , (13) Раскрывая систему (13) получаем систему уравнений для определения коэффициентов разложения в виде: (14) Нетрудно увидеть, что вводя скалярные произведения в соответствующем функциональном пространстве в виде: (15) систему (14) можно переписать в нормальном виде Гаусса: (16) Ясно, что эта система имеет единственное решение, т.к. определитель системы (16) совпадает с определителем Грама для базисных функций - которая отлична от нуля вследствие линейной независимости базисных функций. Найдя из системы (16) и подставляя в (9) мы получаем функцию: (17) которая является приближением к функции в смысле минимума квадратичного отклонения Гаусса (10) по норме индуцированной скалярным произведением (15), действительно: (18) а дискретная норма Гаусса невязки имеет вид: (19) 2.2 Интегральное приближение функции заданной аналитически В предыдущем параграфе мы рассматривали приближение функции методом наименьших квадратов, предполагая, что значения функции заданы таблично, поэтому мы пользовались дискретной нормой Гаусса . Рассмотрим теперь случай, когда аналитически заданную, на интервале , функцию - надо аппроксимировать обобщённым многочленом: (20) так, чтобы минимизировалась интегральная норма невязки Гаусса : (21) иначе говоря, нам нужно минимизировать интеграл (22) Для решения этой задачи подставим (20) в (22), тогда функционал (22) превратится в функцию многих переменных, т.е. . Условия же минимума функции многих переменных имеют вид: , (23) Эти условия приобретают вид: (24) т.е. (25) Определитель этой системы представляет собой определитель Грама для функций , в , поэтому система (25) имеет единственное решение . Подставляя эти значения в разложение (20) имеем приближение для . Характер приближения оценивается соответствующей нормой невязки . Задача аппроксимации функции заданной аналитически часто применяется для вычисления интегралов.2.3 Числовые примеры на применение метода наименьших квадратов Гаусса для приближения функций заданных таблично или аналитически а) Рассмотрим пример в случае табличного задания функции : Пример 1: пусть функция задана таблично: 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.31 0.82 1.29 1.85 2.51 3.02 с помощью метода наименьших квадратов аппроксимировать эту функцию в классе линейных функций. Т.е. допускаем, что . Для нахождения коэффициентов , составляем невязку по дискретной норме Гаусса: (26) Необходимые условия минимума для имеют вид: (27) Из (27) – получаем нормальные уравнения Гаусса: (28) Решение имеет вид: (29) т.е. (30) б) Теперь, рассмотрим пример в случае приближения сложных аналитически заданных функций, боллее простыми функциями. Пример 2: Функцию , заданную на интервале аппроксимировать линейной функцией , определив параметры и по методу Гаусса (используем интегральную норму невязки Гаусса).

Решение: интегральная норма невязки для данной функции имеет вид: (31) Необходимые условия минимума для - имеют вид: (32) т.е. (33) (34) Из уравнений (33) и (34) находим (35) аппроксимирующий многочлен имеет вид: (36) или (37) Для более глубокого изучения теории приближения, необходимо знание численных методов вычисления интегралов и методов решения систем уравнения, поэтому на следующей лекции мы временно прервем изложение теории аппроксимации и перейдем на подготовительную работу. Литература1). К. Ректорис. Вариационные методы в математической физике и механике. Мир, М.,1995 2). С.Г. Михлин. Численная реализация вариационных методов, М., Наука, 1996 3). Л.А. Кальницкий, Д.А. Добротин, В.Ф. Жевердеев. Специальный курс высшей математики для втузов. М., ”Высшая математика”, 1996 4). Т. Шуп. Решение инженерных задач на ЭВМ. Мир, М., 1982 5). Л. Коллатц. Функциональный анализ и вычислительная математика. Мир, М., 1999 6). Р. Варга. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. Мир, М., 1994 7). Л. Коллатц, Ю. Альбрехт. Задачи по прикладной математике. Мир, М.,1998.

Сделаем следующие предположения о модели парной регрессии: 1) факторная переменная xi неслучайная или детерминированная величина, которая не зависит от распределения случайной ошибки модели регрессии bi; 2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях: 3) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:; 4) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т. е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю): Это условие выполняется в том случае, если исходные данные не являются временными рядами; 5) на основании третьего и четвёртого условий часто добавляется пятое условие, заключающееся в том, что случайная ошибка модели регрессии это случайная величина, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: ei~N(0, G2). Если выдвинутые предположения справедливы, то оценки неизвестных параметров модели парной регрессии, полученные методом наименьших квадратов, имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещённых оценок, т. е

1. Уравнения регрессии. Коэффициент эластичности, корреляции, детерминации и F-критерий Фишера

2. Разработка алгоритма и программы для вычисления коэффициента оперативной готовности системы

3. Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

4. Определение коэффициента вязкости прозрачной жидкости по методу Стокса

5. Моделирование как метод естествознания. Модель демографического взрыва

6. Имитационное биомеханическое моделирование как метод изучения двигательных действий человека
7. Моделирование как метод научного познания
8. Моделирование и методы измерения параметров радиокомпонентов электронных схем

9. Моделирование как метод социальных исследований

10. Моделирование как метод познания окружающего мира

11. Методи визначення функції витрат та аналізу ризиків. Метод Монте-Карло

12. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

13. Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов

14. Классический метод наименьших квадратов

15. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

16. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере

Трехколесный велосипед Funny Jaguar Lexus Trike Original Volt (цвет: синий).
Трехколесный велосипед подходит для детей от 1 года. Велосипед Volt заряжает своей энергией, зовет в дорогу. Характеристики: - удобное
2400 руб
Раздел: Трехколесные
Фоторамка Crystocraft "Бабочка", 10x19 см.
Цвет: золотистый. Материал: сталь. Размер: 10x19 см. Товар не подлежит обязательной сертификации.
383 руб
Раздел: Прочие
Набор перьев для каллиграфии, 5 штук.
В наборе: 5 перьев (для рисования, орнамента, плаката, шрифта и перо с круглым острием).
442 руб
Раздел: Прочее

17. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

18. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

19. Решение нелинейного уравнения методом касательных

20. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

21. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

22. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
23. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
24. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

25. Формула Алексея Юрьевича Виноградова для начала вычислений по методу прогонки Годунова для краевых условий любой сложности

26. Определение коэффициента поверхностного натяжения методом компенсации давления Лапласа

27. Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)

28. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

29. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

30. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования

31. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля

32. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Фоторамка на 4 фотографии С34-016 "Alparaisa", 44x32,5 см (белый).
Размеры рамки: 44x32,5х1,5 cм. Размеры фото: - 10х15 см, 1 штука, - 10х10 см, 2 штуки, - 13х18 см, 1 штука. Фоторамка-коллаж для 4-х
388 руб
Раздел: Мультирамки
Подушка для младенца "Selby".
Известно, что необходимое количество здорового сна является условием гармоничного физического и эмоционального развития. Когда малыш спит,
814 руб
Раздел: Подушки для детей
Комплект детского постельного белья "Хоккей".
Постельное белье из бязи выполнено из высококачественного хлопка, что гарантирует крепкий и здоровый сон. Комплект не требует особого
1498 руб
Раздел: Детское, подростковое

33. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

34. Определение релаксационных констант в модифицированных полимерных материалах методом линейной регрессии

35. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

36. Анализ динамики внп методом линейной регрессии

37. Применение метода множественной регрессии для оценки значений энергии водородных связей

38. Методы решения уравнений в странах древнего мира
39. Методы решения уравнений, содержащих параметр
40. Метод касательных решения нелинейных уравнений

41. Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников

42. Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

43. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

44. Нахождение корней уравнений различными методами

45. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

46. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

47. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

48. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

Кресло детское.
Мягкое удобное кресло для отдыха. Кресло имеет прочный металлический каркас и покрытие из текстиля, оно легко собирается и разбирается и
706 руб
Раздел: Стульчики
Детские футбольные ворота 2 в 1.
Игровой набор включает в себя всё необходимое для тренировок маленьких футболистов - пластиковые сборно-разборные ворота с сеткой,
1306 руб
Раздел: Футбол
Мешок для обуви "Мерцающие звезды", 33х40 см.
Мешок для обуви. Размер: 33х40 см.
315 руб
Раздел: Сумки для обуви

49. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

50. Численные методы решения систем линейных уравнений

51. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

52. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

53. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

54. Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений
55. Методы решения алгебраических уравнений
56. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

57. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

58. Вычисление наибольшего, наименьшего значения функции в ограниченной области

59. Расчёт электрических нагрузок объектов методом коэффициента максимума

60. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента

61. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

62. Метод конечных элементов

63. Изучение миксомицетов среднего Урала, выращенных методом влажных камер

64. Методы исследования в цитологии

Органайзер для украшений "Little dress" (черный).
У вас много украшений? И все они, хранясь в коробке, частенько путаются между собой, теряются или гнутся? На помощь в решении проблемы
990 руб
Раздел: Подставки для украшений
Стол детский складной "Первоклашка. Осень".
Материал: металл, пластик. Размер столешницы: 600x450 мм. Высота стола: 580 мм. Возраст: от 3 до 7 лет.
820 руб
Раздел: Столики
Дозатор для жидкого мыла сенсорный "Dettol (Детол)" + картридж "Зеленый чай и имбирь".
Дозатор для жидкого мыла Dettоl (сенсорный + кaртридж) представляет собой автоматическую сенсорную систему, обеспечивающую вакуумное
462 руб
Раздел: Настольные

65. Роль микроэлементов в обменных процессах растений и на накоплении ими биологически активных веществ (Реферат (обзор литературы) () WinWord 97)

66. Методы психогенетики

67. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы

68. Новейшие методы селекции: клеточная инженерия, генная инженерия, хромосомная инженерия

69. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

70. Статистика населения. Методы анализа динамики и численности и структуры населения
71. Обзор средств для автоматизации геодезических вычислений
72. Гидрохимический, атмохический и биогеохимический методы поисков

73. Добыча золота методами геотехнологии

74. Государственное регулирование экономики: формы и методы

75. Сущность, методы и формы государственного регулирования внешнеэкономической деятельности Российской Федерации

76. Предмет, метод, источники Административного права

77. Методы осуществления государственной власти

78. Метод гражданско правового регулирования

79. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/

80. Корпорация BBC. Формы и методы государственного контроля вещания

Простыня на резинке "Лимон", 90x200 см.
Трикотажная простыня "Tete-a-Tete" изготовлена из 100% хлопка высокого качества. Натуральный, экологически чистый материал
571 руб
Раздел: Простыни, пододеяльники
Подвесные качели "Кассон".
Подвесные детские качели изготовлены из прочного жгута и пластиковых разноцветных деталей. Размер: 48х48х24 см. Материал:
394 руб
Раздел: Качели
Подгузники-трусики для мальчиков Huggies DryNights, 8-15 лет, 9 штук.
Деликатная защита на всю ночь для детей от 4х лет, страдающих энурезом. Одноразовые Трусики Хаггис Драйнайтс для мальчиков 8-15 лет (30-57
468 руб
Раздел: Обычные

81. Формы и методы выхода предприятий на внешний рынок

82. Финансовый контроль: формы, методы, органы

83. Эффективные методы изучения иностранных языков

84. Метод действенного анализа в режиссуре театра, кино и телевидения

85. Несколько рефератов по культурологии

86. Русская здрава (методы оздоровления на Руси)
87. Методы исследования литературы
88. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling

89. Реферат по книге Фернана Броделя

90. Цивилизационные методы в изучении истории

91. Методы компьютерной обработки статистических данных

92. Решение транспортной задачи методом потенциалов

93. Шифрование по методу UUE

94. Оценка методов и средств обеспечения безошибочности передачи данных в сетях

95. Обзор возможных методов защиты

96. Метод деформируемого многогранника

Этажерка для обуви, 5 полок.
Собрать всю обувь в одно место, строго распределить ее для аккуратного хранения помогут пластиковые этажерки для обуви от компании
812 руб
Раздел: Полки напольные, стеллажи
Шар предсказаний, 12 см.
Если вы из той породы людей, которые предпочитают сто раз подумать, тогда купить магический шар будет неплохим вариантом. Он не примет
565 руб
Раздел: Прочее
Качели Фея "Чарли 3 в 1".
Многофункциональная модель качелей Фея Чарли 3 в 1 трансформируется в: - качели, - стульчик, - шезлонг. Универсальные качели предназначены
2935 руб
Раздел: Качели, кресла-качалки, шезлонги

97. Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева

98. Методы прогнозирования основанные на нейронных сетях

99. Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод

100. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.