|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток |
Ручка "Шприц", желтая. 
Наклейки для поощрения "Смайлики 2". 
Фонарь садовый «Тюльпан». Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( ¶ 2 u/ ¶ 2) = c 2 ( ¶ 2u/ ¶ x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x, ) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x начальным условиям u(x,0) = f(x), ¶ u(x,0)/ ¶ = g(x) , 0 £ x £ a и нулевыми краевыми условиями u(0, ) = u(1, )=0.Так как замена переменных ® c приводит уравнение (1) к виду ( ¶ 2 u/ ¶ 2) = ( ¶ 2u/ ¶ x2), то в дальнейшем будем считать с = 1. Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x, ) 0 £ x £ a, 0 £ £ } сетку xi = ih, i=0,1 . , a = h , j = j t t t , j = 0,1 . , m, t m = и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”. Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) . (4) Здесь uij - приближенное значение функции u(x, ) в узле (xi, j). Полагая, что l = t / h , получаем трехслойную разностную схему ui,j 1 = 2(1- l 2 )ui,j l 2 (ui 1,j- ui-1,j) - ui,j-1 , i = 1,2 . . (5) Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. m 1( ) º 0, m 2( ) º 0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0, u j=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j 1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев. Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui,j решения u(x, ) в узлах (xi, j) при i =1, . , j=1,2, . ,m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3,4, . ) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, . , -1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия ui0 = f(xi). Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить ¶ u(x,0)/ ¶ » ( u( x, t ) - u(x,0) )/ t (6) , то ui1=ui0 t (xi), i=1,2, . . Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5). Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( t h2). Невысокий порядок аппроксимации по t объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6). Схема устойчива, если выполнено условие Куранта t < h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при h ® 0 решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи. Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x , появляется ограничение на величину шага t по переменной .
Если необходимо произвести вычисление для большого значения величины , то может потребоваться большое количество шагов по переменной . Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем. Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки. Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная Subrou i e GIP3 Beg . E d . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с двух предыдущих слоев. Входные параметры : hx - шаг сетки h по переменной х; h - шаг сетки t по переменной ; k - количество узлов сетки по x, a = h ; u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на ( j - 1 ) временном слое, j = 1, 2, . ; u2 - массив из действительных чисел, содержащий значение решений на j - м временном слое, j = 1, 2, . ; u3 - рабочий массив из k действительных чисел. Выходные параметры : u1 - массив из действительных чисел, содержащий значение решения из j - м временном слое, j = 1, 2, . ; u2 - массив из действительных чисел, содержащий значение решения из ( j 1) - м временном слое, j = 1, 2, . . К части программы, обозначенной как Subrou i e GIP3 Begi . E d происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое. Порядок работы программы: 1) описание массивов u1, u2, u3; 2) присвоение фактических значений параметрам , hx, h , облюдая условие Куранта; 3) присвоение начального значения решения элементам массива и вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое; 4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое ( k ³ 2 ). Пример: Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с шагом t по , равным 0.05, провести вычисления для 16 временных слоев с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет вид Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по . Программа, и результаты вычисления приведены далее. Приложение 1 (пример выполнения лабораторной работы) Программа решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток. Program Labora or aya rabo a 43; Co s hx = 0.1 ; { Шаг по x - hx } h = 0.05 ; { Шаг по - h } = 11 ; { Количество узлов } Fu c io f(x : Real) : Real; { Данная функция } { вычисляющая решение при =0 } Begi If x = 0 he Wri e(' ',u1:3:3) ; := h ; { /// Печать решения на первом слое } Wri eL ; Wri e(' =', :2:2,' '); For i := 1 o do If u2:3:3); For j := 1 o 15 do Begi {Subrou i e GIP3 Begi } 1 := 1-1; {Вычисление параметра сетки для проверки условия Куранта} a1 := h /hx; if a1 > 1 he Wri eL ('Нарушено условие Куранта') else Begi b1 := a1 a1; a1 := 2 ( 1 - b1); {Вычисление решения на очередном слое} For i := 2 o do u3; For i := 2 o do Begi u1 := 0; u2 := 0; {Subrou i e GIP3 E d} := h ; Wri eL ; Wri e(' =', :2:2,' '); For i := 1 o do {Вывод результатов} If u2:3:3); E d; Wri eL ; Wri eL ; E d.
Приложение 3 ( выполнения лабораторной работы. Вариант 11) Program Labora or aya rabo a 43 varia 11; Co s hx = 0.1 ; { Шаг по x - hx } h = 0.05 ; { Шаг по - h } = 11 ; { Количество узлов } Fu c io f(x : Real) : Real; { Данная функция } { вычисляющая решение при =0 } Begi f := x ( x x - 1 ); E d; Fu c io g(x : Real) : Real; { Данная функция } { вычисляющая производную решения при =0 } Begi g := 0; E d; Var xp : Array of Real; i,j, 1 : Word; x, ,a1,b1 : Real; u1,u2,u3 : Array of Real; Begi 1 := ; Wri eL ('Приложение 4'); Wri eL ('------------'); Wri eL ('Результат, полученный при вычислении программы :'); Wri eL ; xp := 1; For i := 2 o ( - 1 ) do Begi x := (i-1) hx; xp := u1 h g(x); { u(x,h ) на 1 слое } E d; { /// Задание граничных условий } u1 := 0 ; { u(0,h ) } u2 := 0 ; { u(0,2h ) } u3 := 0 ; { u(1,2h ) } { /// Печать заголовка } Wri e(' '); For i := 1 o do Wri e(' x=', xp:1:1); Wri eL ; := 0; { /// Печать решения на нулевом слое } Wri e(' =', :2:2,' '); For i := 1 o do If u1:3:3) ; := h ; { /// Печать решения на первом слое } Wri eL ; Wri e(' =', :2:2,' '); For i := 1 o do If u2:3:3); For j := 1 o 15 do Begi {Subrou i e GIP3 Begi } 1 := 1-1; {Вычисление параметра сетки для проверки условия Куранта} a1 := h /hx; if a1 > 1 he Wri eL ('Нарушено условие Куранта') else Begi b1 := a1 a1; a1 := 2 ( 1 - b1); {Вычисление решения на очередном слое} For i := 2 o do u3; For i := 2 o do Begi u1 := 0; u2 := 0; {Subrou i e GIP3 E d} := h ; Wri eL ; Wri e(' =', :2:2,' '); For i := 1 o do {Вывод результатов} If u2:3:3); E d; Wri eL ; Wri eL ; E d. (выполнения лабораторной работы. Вариант 20) Program Labora or aya rabo a 43 varia 20; Co s hx = 0.1 ; { Шаг по x - hx } h = 0.05 ; { Шаг по - h } = 11 ; { Количество узлов } Fu c io f(x : Real) : Real; { Данная функция } { вычисляющая решение при =0 } Begi f := 10 x ( x x x - 1 ); E d; Fu c io g(x : Real) : Real; { Данная функция } { вычисляющая производную решения при =0 } Begi g := 0; E d; Var xp : Array of Real; i,j, 1 : Word; x, ,a1,b1 : Real; u1,u2,u3 : Array of Real; Begi 1 := ; Wri eL ('Приложение 4'); Wri eL ('------------'); Wri eL ('Результат, полученный при вычислении программы :'); Wri eL ; xp := 1; For i := 2 o ( - 1 ) do Begi x := (i-1) hx; xp := u1 h g(x); { u(x,h ) на 1 слое } E d; { /// Задание граничных условий } u1 := 0 ; { u(0,h ) } u2 := 0 ; { u(0,2h ) } u3 := 0 ; { u(1,2h ) } { /// Печать заголовка } Wri e(' '); For i := 1 o do Wri e(' x=', xp:1:1); Wri eL ; := 0; { /// Печать решения на нулевом слое } Wri e(' =', :2:2,' '); For i := 1 o do If u1:3:3) ; := h ; { /// Печать решения на первом слое } Wri eL ; Wri e(' =', :2:2,' '); For i := 1 o do If u2:3:3); For j := 1 o 15 do Begi {Subrou i e GIP3 Begi } 1 := 1-1; {Вычисление параметра сетки для проверки условия Куранта} a1 := h /hx; if a1 > 1 he Wri eL ('Нарушено условие Куранта') else Begi b1 := a1 a1; a1 := 2 ( 1 - b1); {Вычисление решения на очередном слое} For i := 2 o do u3; For i := 2 o do Begi u1 := 0; u2 := 0; {Subrou i e GIP3 E d} := h ; Wri eL ; Wri e(' =', :2:2,' '); For i := 1 o do {Вывод результатов} If u2:3:3); E d; Wri eL ; Wri eL ; E d.
Как следствие, программа перестала быть последовательностью предопределенных на этапе кодирования действий, а стала событийно-управляемой. Последнее обстоятельство стало доминирующим при разработке широкого круга современных приложений. В этом случае каждая программа представляет собой бесконечный цикл ожидания некоторых заранее определенных событий. Инициаторами событий могут быть другие программы или пользователи. При наступлении отдельного события, например, нажатия клавиши на клавиатуре или щелчка кнопкой мыши, программа выходит из состояния ожидания и реагирует на это событие вполне адекватным образом. Реакция программы при этом тоже связывается с последующими событиями. Наиболее существенным обстоятельством в развитии методологии ООП явилось осознание того факта, что процесс написания программного кода может быть отделен от процесса проектирования структуры программы. Действительно, до того как начать программирование классов, их свойств и методов, необходимо определить, чем же являются сами эти классы. Более того, нужно дать ответы на такие вопросы, как: сколько и какие классы нужно определить для решения поставленной задачи, какие свойства и методы необходимы для придания классам требуемого поведения, а также установить взаимосвязи между классами
1. Решение задач транспортного типа методом потенциалов
2. Решение геоэкологических проблем с помощью нестандартных геофизических методов
3. Методы анализа экономической информации и принятия бизнес-решений
5. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
9. Разностные схемы для уравнений параболического типа
10. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
11. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
12. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
13. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
14. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
15. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
16. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
Кружка керамическая "FIFA 2018", 650 мл. 
Набор детской посуды "Тачки", 3 предмета. 
Доска магнитно-маркерная "ECO", деревянная рамка, 60х80 см. 17. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
18. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
19. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
20. Методы решения уравнений в странах древнего мира
21. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
26. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
27. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса
29. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
30. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
31. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
32. Методы решения алгебраических уравнений
Пистолет для подкачки шин, пневматический. 
Подставка для колец "Единорог", арт. 62243. 
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака. Трюк с мячом!", 400 мл. 34. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
35. Методы оптимизации при решении уравнений
36. Решение транспортной задачи методом потенциалов
41. Методы и приемы решения задач
42. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
43. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
45. Методология и методы принятия решения
46. Сущность и методы принятия управленческих решений
48. Методология и методы принятия решения
Писсуар для мальчиков "Лягушка" с прицелом. 
Настольная игра "Черепашьи бега". 
Дополнительный набор карт Имаджинариум "Персефона". 49. Совершенствование методов проектирования кораблей и обоснование проектных решений
50. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
51. Методы принятия управленческого решения
52. Управленческие ситуации и методы их решения
53. Обучение общим методам решения задач
59. Коллективные методы принятия управленческих решений
60. Модели и методы принятия решения
61. Решение задач линейного программирования симплекс методом
62. Решение задачи линейного программирования графическим методом
63. Решение прикладных задач численными методами
64. Симплекс метод решения задачи линейного программирования
Средство для умягчения воды Calgon "2 в 1" (1,6 кг). 
Пакет полиэтиленовый с вырубной ручкой "Золотая полоса", ПВД, 40х47 см, 55 мкм, 50 штук. 
Лото для самых маленьких "О чем мечтают мальчики". 65. Резисторы и конденсаторы в «полупроводниковом» исполнении. Топологические решения и методы расчета
66. Аналитический метод в решении планиметрических задач
67. Математические методы в теории принятия решений
68. Решение задачи линейного программирования симплексным методом
69. Методы приближённого решения матричных игр
73. Методы планирования управленческих решений
74. Методы принятия управленческих решений
75. Методы проведения экспертиз при разработке управленческих решений
76. Экспертные методы оценки управленческого решения
77. Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим методом
78. Методы решения логических задач
79. Эвристические методы решения творческих задач
80. Графический метод решения химических задач
Бальзам для стирки спортивной одежды Domal "Sport Fashion", 750 мл. 
Сиденье в ванну раздвижное пластиковое. 
Зонт на коляску Lorelli, цвет: терракотовый. 81. Применение методов экономической статистики при решении задач
82. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования
84. Решение задач симплекс-методом
85. Решение оптимизационных управленческих задач на основе методов и моделей линейного программирования
89. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения
90. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
91. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль
92. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения
93. “Идеальные типы” как метод исследования культуры по работам М. Вебера в его избранных произведениях
94. Применение графиков в решении уравнений
95. Решение смешанной задачи для уравнения
96. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
Набор смываемых мини-фломастеров, 16 шт. 
Одеяло летнее "Medium Soft", 140x205 см. 
Форма для выпечки "Имбирный домик". 97. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
99. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)
