|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА |
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". 
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ “ ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ” Кафедра “Системы и Процессы Управления” ОТЧЕТ о научно-исследовательской курсовой работе по численным методам на тему : « РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА » Выполнил студент гр.И-29 Уханов Е.В.Руководитель работы Д.т.н. проф Бреславский Д.В. Харьков 2001 СОДЕРЖАНИЕ Введение .3 1. Постановка задачи 4 2. Методы решения . 6 2.1. Метод прогноза и коррекции 6 2.2 Модифицированный метод Гаусса .12 3. Описание алгоритма 14 4. Описание программы .15 5. Примеры расчетов .17 5.1. Решение одного дифференциального уравнения .17 5.2. Решение системы дифференциальных уравнений .19 Заключение 20 Список использованной литературы .21 Приложение 1 22 Приложение 2 23 Приложение 3 24 Приложение 4 25 ВВЕДЕНИЕ Во многих областях науки и техники , а также отраслях наукоемкой промышленности , таких как : авиационная , космическая , химическая , энергетическая , - являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией . Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса- Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. При этом , стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени . Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования . Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей вспомогательной научно- технической задачей . Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка : (1.2) где А заданная матрица размером x . - вектор с координатами , который подлежит определению ; – произвольное целое число ; - заданные вектора правых частей с координатами . С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом , на заданных временных промежутках . 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 2.1. Метод прогноза и коррекции Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши , а именно к численным решениям многошаговыми методами . Рассмотрим задачу Коши : (2.1.1) Подставим в (2.1.1) точное решение y(x) , и проинтегрируем это уравнение на отрезке (2.1
.2) где в последнем член предполагаем , что p(x) полином , аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином , предположим , что . Будем считать для начала , что узлы Xi расположены равномерно с шагом h . тогда fi = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2, ,k- ) есть приближения к f (x,y(x)) в точках и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi) , ( i =k,k-1,k-2, ,k- ) . Таким образом , P – полином степени , удовлетворяющий условиям P(xi)=fi , ( i = k,k-1,k-2, ,k- ) . В принципе , можем проинтегрировать этот полином явно , что ведет к следующему методу : (2.1.3) В простейшем случае , когда =0 , полином P есть константа , равная fk , и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера : (2.1.4) Если =1 , то P есть линейная функция , проходящая через точки (xk-1,fk-1) и (xk,fk) , т.е. (2.1.5) интегрируя этот полином от Xk до Xk 1 , получим следующий метод : (2.1.6) который является двухшаговым , поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1 . Аналогично , если =2 , то P - есть кубический интерполяционный полином , а соответствующий метод определяется формулой : (2.1.7) Отметим , что метод (2.1.6) – есть метод Адамса-Башфорта второго порядка , (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядка . Для стартования метода (2.1.7) необходимы сведения о четырех предыдущих точках . Соответственно данный метод требует вычисления стартующих данных . Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера , который имеет вид : Таким образом , подставляя начальные условия, мы находим вторую точку . Следует заметить , что степень точности совпадает со степенью точности остальных методов , что является существенным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции . Ввиду того , что стартовые методы имеют более низкий порядок , в начале приходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежутка времени . В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования не оправдывает себя . Для этих целей воспользуемся трехшаговым методом прогноза и коррекции с переменным шагом . Рассуждая также , как для метода Адамса-Башфорта , который излагается в работах : , мы мы приходим к формулам : Прогноз : (2.1.9) где h - шаг интегрирования , изменяющийся на малом промежутке времени в соответствии с условиями Рунге : - малое конкретное значение , при невыполнении условия которого увеличивается шаг h=h а - малое конкретное значение , при невыполнении условия шаг соответственно уменьшается h=h/ , где - некоторое целое число больше единицы . Оптимально , для вычисления новой точки , с помощью метода прогноза и коррекции , используется формула : (2.1.10) Таким образом, мы воспользовались простым трех шаговым методом прогноза и коррекции , для стартования метода Адамса-Башфорта . Преимущества данного метода заключаются :в его высокой точности , авто подборе шага , что во много раз повышает точность самого метода Адамса- Башфорта , и делает его оптимальным для задач такого рода . Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанные значения в точке Xk и в предыдущих точках . В принципе , при построении интерполяционного полинома , мы можем использовать и точки Xk 1,Xk 2, .
Простейший случай при этом состаит в использовании точек Xk 1,Xk, ,Xk- и построения интерполяционного полинома степени 1 , удовлетворяющего условиям P(Xi)=fi , (I=k 1,k, ,k- ) . При этом возникает класс методов , известных как методы Адамса-Моултона . Если =0 , то p – линейная функция , проходящая через точки (Xk,fk) и (Xk 1,f k 1) , и соответствующий метод : , именно им мы воспользовались в формуле (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки в трех шаговом методе . Если =2 , то p – кубический полином , построенный по точкам (2.1.12) является методом Адамса-Моултона четвертого порядка . В силу того , что по сути fk 1 – неизвестная , то методы Адамса-Моултона (2.1.11),(2.1.12) называют неявными . В тоже время методы Адамса-Башфорта – называют явными . Теперь воспользовавшись явной формулой (2.1.7) , и неявной формулой (2.1.12) , используя их совместно , мы приходим к методу Адамса-Башфорта четвертого порядка : Стоит обратить внимание , что в целом этод метод является явным . Сначало по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение используется для вычисления приближенного значения , которое в свою очередь используется в формуле Адамса- Моултона . Таким образом формула Адамса-Моултона “корректирует” корректирует приближение , называемое формулой Адамса-Башфорта . Теперь рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка : Заданная матрица размером x ; - вектор с координатами , который подлежит определению . В связи с тем , что связь между искомыми неизвестными определяется матрицей коэффициентов A , на каждом шаге по времени , необходимо решить систему относительно неизвестных скоростей , для её решения воспользуемся модифицированным методом Гаусса , который описан в разделе 2.2 . Далее, интегрируя сначала ранее описанными методами : методом Эйлера на первом шаге , трех точечным методом прогноза и коррекции с авто подбором шага , на малом промежутке времени и с малым начальным шагом , для повышения точности стартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование с постоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта (2.1.13) , . 2.2 Модифицированный метод Гаусса Как типичный пример решения систем линейных дифференциальных уравнений , рассмотрим систему четырех линейных алгебраических уравнений . Для решения системы четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными модифицированным методом Гаусса необходимо Составить систему : (2.2.1)1) Каждое уравнение делиться на коэффициент при X1 2) Теперь образуем нули в первом столбце матрицы системы : вычитаем 2-ое из 1-ого , 3-е из 2-ого , 4-ое из 3-его : (2.2.2) 3) Повторив еще раз эти операции получим систему двух уравнений с двумя неизвестными , решение которой можно получить по формулам Крамера : (2.2.3) Решение же X1 и X2 можно получить , подставив в какое-либо из уравнений систем (2.2.1) и (2.2.2) и разрешив эти уравнения относительно соответствующей переменной . 3.ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА Программа начинается с вывода сообщения о программе . После происходит считывание необходимых исходных данных из файла , для дальнейшей работоспособности алгоритма , а именно – начальных условий и матрицы коэффициентов системы линейных дифференциальных уравнений первого рода , начального шага интегрирования , левого и правого условий Рунге , время интегрирования по трех шаговому методу прогноза и коррекции , время интегрирования по пяти точечному методу Адамса-Башфорта .
Для определения скоростей какой-либо точки строят диаграмму изменения пути этой точки по времени, используя данные, полученные при определении положений звеньев, а затем, применяя графическое дифференцирование, строят диаграмму изменения скорости по времени (см. Графические вычисления ). Это метод наиболее простой, однако характеризуется небольшой точностью. Метод планов скоростей применим для плоских и пространственных механизмов. При построении планов скоростей используют соотношения между векторами скоростей различных точек механизма. Точность метода планов скоростей, как и всякого графического метода, ограничена, поэтому при исследовании механизмов, для которых требуется повышенная точность кинематического расчёта, предпочтительно применение аналитических методов, которые всегда можно свести к системе линейных уравнений. Ускорения точек механизма определяют по планам ускорений и аналитическим методом (решение систем линейных уравнений). Метод кинематических диаграмм для определения ускорений, как правило, не применяется, так как его точность зависит от точности графического дифференцирования, предварительно построенной диаграммы изменения скорости по времени, т. е. при решении, возможно, накопление ошибок
1. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
3. Принятие решений методом анализа иерархий
4. Методи визначення функції витрат та аналізу ризиків. Метод Монте-Карло
5. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
9. Методы и алгоритмы построения элементов систем статистического моделирования
10. Контроль дотримання порядку і процедур державних закупівель. Типові порушення та методи їх виявлення
11. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений
12. Алгоритми і методи обчислення
13. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
15. Изучение миксомицетов среднего Урала, выращенных методом влажных камер
16. Методы исследования в цитологии
Глобус Марса диаметром 320 мм, с подсветкой. 
Набор цветных гелевых ручек, 30 цветов. 
Стерилизатор "Care" для микроволновой печи (на 3 бутылочки). 17. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ЧЕЛОВЕКА
18. Методологическое значение сравнительного метода в зоологических исследованиях
19. Метод радиоавтографии в биологии
20. Виды стихийных бедствий и методы борьбы с ними
21. Статистика населения. Методы анализа динамики и численности и структуры населения
25. Основні методи боротьби з інфляцією
26. Предмет, метод, источники Административного права
27. Методы осуществления государственной власти
28. Метод гражданско правового регулирования
29. Формы и методы государственного регулирования экономики в Казахстане
30. Математические методы и модели в конституционно-правовом исследовании
31. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности
32. Цикл-метод обучения. (Методика преподавания эстонского языка)
Сиденье в ванну раздвижное пластиковое. 
Зонт на коляску Lorelli, цвет: терракотовый. 
Коробка для хранения, на молнии, складная, 30x40x25 см, серо-белая. 33. Специфика преподавания иностранного языка и метод проектов
34. Естественная и гуманитарная культуры. Научный метод
35. Русская здрава (методы оздоровления на Руси)
36. Методы исследования литературы
37. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников
41. Оценка методов и средств обеспечения безошибочности передачи данных в сетях
42. Обзор возможных методов защиты
43. Метод деформируемого многогранника
45. Методы прогнозирования основанные на нейронных сетях
46. Модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матриц
47. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах
48. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)
Сменный фильтр "Аквафор В-100-5" (4 штуки). 
Каталка-трактор с педалями "Turbo-2" с полуприцепом. 
Стиральный порошок KAO "Attack Bio EX", 1 кг. 49. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
50. Интегрирование методом Симпсона
51. Защита цифровой информации методами стеганографии
52. Анализ криптостойкости методов защиты информации в операционных системах Microsoft Window 9x
53. Парольные методы защиты информации в компьютерных системах от несанкционированного доступа
58. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
59. Аксиоматический метод. Логическое строение геометрии
60. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников
61. Сетевые методы в планировании
62. Вычисление интеграла фукции f (x) (методом Симпсона WinWord)
64. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)
Подарочный набор, 21x16x4 см, арт. 140304. 
Ночник с проектором "Звездочка". 
Машина-каталка "Авторалли", цвет: розовый. 65. Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)
66. Краткая методичка по логике
67. Методы решения систем линейных неравенств
68. Вычисление двойных интегралов методом ячеек
69. Методы обучения математике в 10 -11 класах
73. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
74. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
77. Механические и хирургические методы контрацепции
78. Карл Леонгард: методы диагностики личности
80. МЕТОДЫ НАРОДНОЙ МЕДИЦИНЫ. ЗАКАЛИВАНИЕ ОРГАНИЗМА
Комплект детского постельного белья "Трансформеры". 
Детский матрас "Плитекс. Юниор", для коляски и люльки. 
Набор для творчества. "Творчество" стикеры "Домик для игр". 81. Основные методы обследования больного
82. Детский травматизм и методы самостоятельной помощи
83. Современные методы электрокардиостимуляции
84. Современные методы лечения псориаза у детей
85. ДЭНС-ТЕРАПИЯ как новый и современный метод лечения в медицине
89. Использование криминалистических средств и методов в установлении лица совершившего преступление
91. Методы и фотоматериалы, применяемые при съемки следов орудий взлома и инструментов
92. Методы очистки сточных вод
93. Экономические методы охраны окружающей среды и особенности их использования в России
94. Проект очистки масло-шламовых сточных вод завода "Топливная аппаратура" электрохимическим методом
95. Загрязнение гидросферы. Методы её защиты
96. Методы очистки сточных вод от нефтепродуктов
Фотобумага "Lomond" для струйной печати, А4, 200 г/м2, 50 листов, односторонняя, глянцевая. 
Багетная рама "Regina" (цвет - черный + серебряный), 30х40 см. 
Подгузники Merries для новорожденных, 0-5 кг, 24 штуки. 97. Частная школа и новые методы образования
98. Классификация методов обучения
99. Психологический метод обучения чтению
Совок большой. 
