Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Дифференциальные уравнения I и II порядка

Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки

Введение. Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела. При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса. Пусть – общее число потенциальных покупателей нового товара, x( ) – число покупателей, знающих к моменту времени о поступлении в продажу нового товара, – число покупателей еще не имеющих информации о товаре. Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна ( -x)/ . Тогда скорость изменения величины x( ) в момент равняется px( -x)/ систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение или . Данное уравнение содержит величину x и ее производную , т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от : , где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент = 0. Например, если при =0 величина x(0)=g (g - доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), то . На рис. 1 показан график искомой функции x=x( ). В экономической литературе график известен как логистическая кривая. Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов. В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством. Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C – параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество . Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем . Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему , и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение , описывающее свойство присущее всем кривым семейства. Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c. Дифференцируя данное уравнение по x, получаем .

Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол. 1. Основные понятия и определения. Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде или . Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например: А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка; Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка; В) является дифференциальным уравнением -го порядка. Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Например, пусть дано дифференциальной уравнение . Тогда любая функция вида y=c1si x c2cosx, где c1, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения. Действительно, дифференцируя уравнение y=c1si x c2cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем . Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения. Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько. В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению -го порядка отвечает семейство решений, содержащих параметров. Определение. Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция y=f(x, c1, c2, , c ), зависящая от аргумента x и произвольных постоянных c1, c2, , c , которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество. Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, , c )=0. Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом. Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c1, c2 , , c . Обычно значения этих произвольных постоянных c1, c2 , , c определяются заданием начальных условий: y(x0)=y0, . Эти начальные условия дают соответственно уравнений , , , , решая которые относительно c1, c2 , , c находят значения этих постоянных. Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x0,y0). Геометрическая интерпретация. Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида . В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки M. Таким образом дифференциальное уравнение порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)).

Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей. Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление, где a - угол наклона касательной к оси x. Из (условие касания кривой с вектором ) и равенства абсцисс векторов и вытекает тождество , выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является решением уравнения . И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения , то . Последнее соотношение означает, в каждой точке кривой y=h(x) направление ее касательной совпадает с вектором поля направлений, т.е. в каждой точке кривая y=h(x) касается вектора поля направлений. В качестве иллюстрации возьмем уравнение . Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой вектор поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)=l , и каждой точке изоклины соответствует вектор . Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением или y=-l x. Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениям , черточками изображены направления векторов в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов, значениям c&l ;0 отвечают гиперболы II и IV координатных узлов. 2. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка. Задано дифференциальное уравнение вида или, иначе, . Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Тогда из следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) – первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x) c0. Из y(x0)=y0, y(x0)=F(x0) c0 получаем c0=y0-F(x0), т.е. y(x)=F(x)-F(x0) y0. Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F(x)-F(x0) равна значению определенного интеграла , И, следовательно, получаем , т.е. y(x) является решением интегрального уравнения . Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, получила в литературе название задачи Коши. Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравнения было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857). Теорема. Пусть задано уравнение и начальные значения x0,y0. Тогда если А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ; Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. , где L – постоянная; То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где .

Интересно, что амплитуда колебаний в общем случае отлична от 1 и зависит от значения у(0) — при у(0)=0 она равна 1 (в нашем случае синусоида начинается со значение у(0)=-1). Подобным осциллятором может быть LC-контур или механический маятник без потерь. Рис. 7.6. Решение дифференциального уравнения идеального осциллятора 7.2.4. Дополнительные примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка Ниже представлено решение еще двух дифференциальных уравнений второго порядка в аналитическом виде (de2a): > restart: dsolve(diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=sin(x),y(x)); у(x) = -½sin(x) + ½cos(x) + ex _C1 + _C2 > de:=m*diff(y(x),x$2)-k*diff(y(x),x); > yx0:=y(0)=0,y(1)=1; ух0:= у(0) = 0, у(1) = 1 > dsolve({de,yx0},y(x)); Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11. 7.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2,...) Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости

1. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

2. Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

3. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

4. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

5. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка

6. Решение дифференциального уравнения первого порядка
7. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач
8. Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле

9. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

10. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

11. Асимптотика решений дифференциальных уравнений

12. Краевые задачи и разностные схемы

13. Решение дифференциальных уравнений

14. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

15. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений

16. Решение нелинейного уравнения методом касательных

Стул детский Ника "СТУ3" складной, мягкий (рисунок: машинки).
Особенности: - стул складной; - предназначен для детей от 3 до 7 лет; - металлический каркас; - на ножках стула установлены пластмассовые
562 руб
Раздел: Стульчики
Настольная игра "Матрешкино".
Простая и понятная даже маленьким детям, она увлечёт и взрослых. Игроки наперегонки ищут нужную матрёшку, чтобы повторить её жест. Кто
357 руб
Раздел: Карточные игры
Багетная рама "Wendy", 30x40 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
558 руб
Раздел: Размер 30x40

17. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

18. Исследование кривых и поверхностей второго порядка

19. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

20. Метод касательных решения нелинейных уравнений

21. Поверхности второго порядка

22. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
23. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
24. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

25. Решение нелинейных уравнений

26. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

27. Численное решение модельного уравнения

28. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

29. Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

30. Кривые второго порядка. Квадратичные формы

31. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

32. Решение иррациональных уравнений

Рюкзак детский "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (розовый, цветной горох).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
1581 руб
Раздел: Детские
Флаг "Россия", шёлк, 90х135 см.
Размер: 90х135 см.
479 руб
Раздел: Наградная продукция
Лоток для бумаг горизонтальный "Сити", черный.
Лотки надёжно стыкуются друг с другом металлическими стержнями 6 см. Вместительная и прочная конструкция. Для листов формата А4. Гладкая
640 руб
Раздел: Подставки, лотки для бумаг, футляры

33. Методы решения алгебраических уравнений

34. Планы второго порядка, реализация В3-плана

35. 10 способов решения квадратных уравнений

36. Актуализация разного типа знаний при решении психологических задач

37. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

38. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
39. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
40. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки

41. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

42. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

43. Первые шаги российского парламентаризма: задачи и причины роспуска I Государственной думы (май - июнь 1906г.)

44. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

45. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

46. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

47. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

48. Решение оптимизационной задачи линейного программирования

Подарочный набор: визитница, ручка, нож складной, арт. 46051.
Элегантный дизайн прекрасно дополняет функциональность и делает этот набор прекрасным подарком. В наборе: визитница, ручка, нож складной.
723 руб
Раздел: Подарочные наборы
Глобус Звездного неба диаметром 320 мм, с подсветкой.
Диаметр: 320 мм. Масштаб: 1:40000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: черный. Мощность: 220 V, переключатель на шнуре; может
1338 руб
Раздел: Глобусы
Тележка-сумка "Полоски".
Тележка багажная на комбинированных колесах, с сумкой. Путешествуя, гуляя по магазинам или просто выбираясь на пикник, возьмите с собой
1282 руб
Раздел: Хозяйственные тележки

49. Решение задач линейного программирования

50. Решение задачи линейного программирования

51. Механические колебания в дифференциальных уравнениях

52. О преобразовании дифференциальных систем уравнений в случае сингулярных пучков матриц

53. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

54. Системы линейных уравнений
55. Задачи линейной алгебры
56. Решение систем линейных алгебраических уравнений

57. Решение смешанной задачи для уравнения

58. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

59. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение

60. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

61. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

62. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

63. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

64. Линейные уравнения и неравенства

Набор капиллярных ручек "Triplus 334", 36 цветов.
Количество цветов: 36 ярких цветов. Эргономичная форма для удобного и легкого письма. Пишущий узел завальцован в металл. Защита от
1996 руб
Раздел: Капиллярные
Настольная игра №23 "Стану отличником. Азбука + арифметика".
НИ "Стану отличником: Азбука-арифметика" предназначена для игр и занятий с детьми от 3 до 8 лет. Игра включает в себя
479 руб
Раздел: Алфавит, азбука
Набор для автолюбителя зимний "3 в 1".
Замучились удалять снег на автостоянке подручными средствами? Тратите уйму времени на осторожную очистку стёкол и кузова от ледяной корки?
1316 руб
Раздел: Прочее

65. Математическая постановка транспортной задачи линейного программирования

66. Решение многокритериальной задачи линейного програмирования

67. Линейное программирование: решение задач графическим способом

68. Линейные диофантовы уравнения

69. Механические колебания в дифференциальных уравнениях

70. Частные случаи дифференциальных уравнений
71. Феноменологическое обоснование формы линейного элемента шварцшильдова решения уравнений гравитационного поля ОТО
72. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

73. Практикум по решению линейных задач математического программирования

74. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

75. Решение задач линейного программирования

76. Решение задач линейного программирования симплекс методом

77. Решение линейных интегральных уравнений

78. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

79. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

80. Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

Шкатулка-фолиант "Рим", 17x11x5 см.
Материал: MDF, текстиль. Регулярно вытирать пыль сухой мягкой тканью. Размер: 17x11x5 см. Товар не подлежит обязательной сертификации.
388 руб
Раздел: Шкатулки сувенирные
Закаточная машинка «Лес».
Машинка закаточная с полуавтоматическим перемещением закаточного ролика предназначена для домашнего консервирования и герметичной укупорки
541 руб
Раздел: Консервирование
Игра со звонком "Путаница".
Увлекательная игра для всей семьи. 6 любимых сказок 32 карточки, герои сказок продолжают нас удивлять. Простые правила, яркие иллюстрации,
715 руб
Раздел: Карточные игры

81. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

82. Численные методы решения систем линейных уравнений

83. Графический метод решения задач линейного программирования

84. Задачи линейного программирования

85. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

86. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
87. Дифференциальные уравнения
88. Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц

89. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

90. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

91. Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры

92. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши

93. Решение и постоптимальный анализ задачи линейного программирования

94. Решение произвольных систем линейных уравнений

95. Система линейных уравнений

96. Методы решения систем линейных уравнений

Коробка подарочная "Штамп".
Коробка подарочная. Материал: мелованный, ламинированный, негофрированный картон плотностью 1100 г/м2. Отделка: полноцветный декоративный
302 руб
Раздел: Коробки
Фломастеры "Хамелеон Jumbo", 8 цветов.
С помощью фломастера «проявителя» другие фломастеры «хамелеоны» из этого набора меняют цвет. Достаточно просто
373 руб
Раздел: 7-12 цветов
Держатель-рулетка для бейджей "Style", желтый.
Используется для ношения именных, магнитных или пропускных карточек. Крепление бейджа: карабин-петля. Подходит ко всем бейджам, имеющим
383 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки

97. Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

98. Анализ дифференциальных уравнений

99. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

100. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.