|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Приближённые методы решения алгебраического уравнения |
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм). 
Забавная пачка денег "100 долларов". 
Ручка "Шприц", желтая. Приближённые методы решения алгебраического уравнения Реферат по курсу численных методов выполнил студент группы РЭ–01-1 Днепропетровский Национальный Университет Радиофизический факультет Кафедра физики СВЧ Днепропетровск 2002 1. Численное решение уравнений с одним неизвестным В данной работе рассматриваются метода приближённого вычисления действительных корней алгебраического или трансцендентного уравнения f(x)=0 (1.1) на заданном отрезке . Уравнение называется алгебраическим, если заданная функция есть полином -ой степени: f(x) = P(x) = a0x a1x - 1 a -1 x a = 0, a0 ¹ 0 Требование a0 ¹ 0 обязательно, так как при невыполнении этого условия данное уравнение будет на порядок ниже. Всякое уравнение (1.1) называется трансцендентным, если в нём невозможно явным образом найти неизвестное, а можно лишь приближённо. Однако в число алгебраических уравнений можно также включить те уравнения, которое после некоторых преобразований, можно привести к алгебраическому. Те методы, которые здесь рассматриваются, применимы, как к алгебраическим уравнениям, так и к трансцендентным. Корнем уравнения (1.1) называется такое число x, где f(x)=0. При определении приближённых корней уравнения (1.1) необходимо решить две задачи: отделение корней, т. е. определение достаточно малых промежутков, в каждом из которых заключён один и только один корень уравнения (простой и кратный); уточнение корней с заданной точностью (верным числом знаков до или после запятой); Первую задачу можно решить, разбив данный промежуток на достаточно большое количество промежутков, где бы уравнение имело ровно один корень: на концах промежутков имело значения разных знаков. Там где данное условие не выполняется, те промежутки откинуть. Вторая задача решается непосредственно в методах рассмотренных ниже. При графическом отделении корней уравнения (1.1) нужно последнее преобразовать к виду: j1(x)=j2(x) (2.1) и построить графики функций y1=j1(x), y2=j2(x). Действительно, корнями уравнения (1.1) f(x) = j1(x) - j2(x) = 0 являются абсциссы точек пересечения этих графиков (и только они). Из всех способов, какими можно уравнение (1.1) преобразовать к виду (2.1) выбираем тот, который обеспечивает наиболее простое построение графиков y1=j1(x) и y2=j2(x). В частности можно взять j2(x) = 0 и тогда придём к построению графика функции (1.1), точки пересечения которого с прямой y2=j2(x)=0, т. е. с осью абсцисс, и есть искомые корни уравнения (1.0). Условия, наложенные на функцию f(x) на отрезке . Будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на отрезке (для метода хорд можно потребовать на интервале) и имеет на этом интервале первую и вторую производные, причём обе они знакопостоянны (в частности отличны от нуля). Будем также предполагать, что функция f(x) принимает на концах отрезка значения разного знака. В силу знакопостоянства первой производной функция f(x) строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение (1.1) имеет в точности один корень на интервале (a, b). 2. Метод дихотомии Этот метод ещё называется методом вилки. Нам необходимо найти корень уравнения (1.1
) на отрезке Ì. Пусть мы нашли такие точки х0, х1, что f (х0) f(х1) &pou d; 0, т. е. на отрезке лежит не менее одного корня уравнения. Найдём середину отрезка х2=(х0 х1)/2 и вычислим f(х2). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие f (х2) f(хгран.) &pou d; 0, так как один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис 1.2). рис. 1.2 Если требуется найти корень с точностью Е, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2Е. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. Дихотомия проста и очень надёжна. К простому корню она сходится для любых непрерывных функций в том числе и не дифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости не велика; за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т. е. уточнение трёх цифр требует 10 итераций. Зато точность ответа гарантируется. Приступим к доказательству того, что если непрерывная функция принимает на концах некоторого отрезка значения разных знаков, то методом дихотомии однозначно будет найден корень. Предположим для определённости, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка отрицательное значение, а на правом – положительное: f(a) < 0, f(b) > 0. Возьмём среднюю точку отрезка , h=(a b)/2 и вычислим значение в ней функции f(x). Если f(h)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли такую точку, где функция обращается в нуль. Если f(h)¹ 0, тогда из отрезков выберем один из них тот, где функция на его концах принимает значения разных знаков. Обозначим его . По построению: f(a1)0. Затем среднюю точку отрезка точку h1 и проведём тот же алгоритм нахождения другого отрезка где бы по построению f(a2)0. Будем продолжать этот процесс. В результате он либо оборвётся на некотором шаге в силу того, что f(h )=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения f(x)=0 решён, поэтому рассмотрим второй случай. Неограниченное продолжение процесса даёт последовательность отрезков , Эти отрезки вложены друг в друга – каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим: a &pou d; a 1 < b 1 &pou d; b (1.2) причём: f(a ) < 0, f(b ) > 0 Длины отрезков с возрастанием номера стремятся к нулю: Рассмотрим левые концы отрезков. Согласно (1.2) они образуют монотонно убывающую ограниченную последовательность {a }. Такая последовательность имеет предел, который можно обозначить через c1: Согласно (1.1) и теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем: c1 &pou d; b (2.2) Теперь рассмотрим правые концы отрезков. Они образуют монотонно не возрастающую ограниченную последовательность {b }, которая тоже имеет предел. Обозначим его через с2: . Согласно неравенству (2.1) пределы с1 и с2 удовлетворяют неравенству с1 &pou d; с2. Итак, a &pou d; с1 < с2 &pou d; b , и следовательно: с2-с1 &pou d; b - a =(b-a)/2 . Таким образом, разность с2-с1 меньше любого наперёд заданного положительного числа. Это означает, что с2-с1=0, т.
е.: с1=с2=с Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности Используя непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения f(x)=0. Мы знаем, что f(a )0, то чтобы её достигнуть достаточно сделать число шагов , не превышающее log2. 3. Метод итераций Этот метод называется ещё методом последовательных приближений. Пусть нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на некотором отрезке . Предположим, что уравнение (1.0) можно переписать в виде: x=j(x) (1.3) Возьмём произвольное значение x0 из области определения функции j(x) и будет строить последовательность чисел {x }, определённых с помощью рекуррентной формулы: x 1=j(x ), =0, 1, 2, (2.3) Последовательность {x } называется итерационной последовательностью. При её изучении встают два вопроса: Можно ли процесс вычисления чисел x продолжать неограниченно, т. е. будут ли числа x принадлежать отрезку ? Если итерационный процесс (2.3) бесконечен, то как ведут себя числа x при ®&ye ; Исследование этих вопросов показывает, что при определённых ограничениях на функцию j(x) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения (1.3). , c=j(c) (3.3) Однако для того, чтобы провести это исследование нам нужно ввести новое понятие. Говорят, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке условию Липшица, если существует такая постоянная a, что для любых x1, x2, принадлежащих отрезку имеет место неравенство: f(x1) - f(x2) &pou d; a x1 - x2 (4.3) Величину a в этом случае называют постоянной Липшица. Если функция f(x), удовлетворяет на отрезке условию Липшица, то она непрерывна на нём. Действительно, пусть x0 – произвольная точка отрезка. Рассмотрим приращение функции f(x) в этой точке: Df=f(x0 Dx) – f(x0) и оценим его с помощью неравенства (4.3) Df &pou d; a Dx Таким образом, , что означает непрерывность функции f(x). Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмём не графике функции y=f(x) две произвольные точки M1 и M2 с координатами (x1, f(x1)) и (x2, f(x2)). Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти точки: y=f(x1) k(x-x1) где k– тангенс угла наклона прямой у оси Оx и определяется формулой: Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке условию Липшица, то при произвольном выборе точек M1 и M2 имеем k &pou d;a. Таким образом, с геометрической точки зрения условие Липшица означает ограниченность тангенса угла наклона секущих, проведённых через всевозможные пары точек графика функции y=f(x). рис 2.3 геометрическая иллюстрация условия Липшица. рис 3.3 геометрическая иллюстрация cвязи условия Липшица с предположением о дифференцируемости функции. Предположим, что функция f(x) имеет на отрезке ограниченную производную: f &ce ;(x) &pou d; m; тогда она удовлетворяет условию Липшица с постоянной a=m. Для доказательс- тва этого утверждения воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f &ce ;(x)(x2-x1) (5.3) где x1, x2, - произвольные точки отрезка . Возьмём модуль обеих частей равенства (4.3) и заменим в правой части f ‘(x) на m.
Но «Пангеометрию» принять не может. — А Лобачевский? — допытываются студенты. Попов молчит, делает вид, что не расслышал вопроса. Он не намерен вести кафедру по тому пути, по какому вел ее Лобачевский. Постепенно исключает из программ все учебники, созданные Николаем Ивановичем, его «Алгебру или вычисление конечных» — оригинальное творение, где впервые дан метод численного решения алгебраических уравнений высших степеней, его гениальный мемуар «Об исчезании тригонометрических строк». Попову больше по душе работы Остроградского. Но есть два человека, понимающие все величие Лобачевского. Это диалектик Петр Котельников и создатель грандиозной космической теории Мариан Ковальский. Скоро исполняется пятьдесят лет со дня открытия Казанского университета. Нужно создать комиссию, которая составила бы историю университета. Котельников предлагает назначить председателем комиссии Николая Ивановича. Сам Петр Иванович тайно трудится над жизнеописанием Лобачевского. Котельников любит беседы со своим кумиром. О чем они говорят? О «Пангеометрии», о классической механике Ньютона, построенной на основе геометрии Эвклида
1. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
2. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
3. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
4. Решение алгебраического уравнения n-ой степени
5. Методы решения алгебраических уравнений
9. Итерационные методы решения нелинейных уравнений
10. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
11. Методы решения систем линейных уравнений
12. Методы решения уравнений линейной регрессии
13. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
15. Эвристические методы решения творческих задач
16. Кинезиология как Метод решения психологических проблем
Игра со звонком "Путаница". 
Ступка с пестиком "Mayer & Boch", 250 мл. 
Карандаши чернографитные Faber-Castell "GRIP 2001", 12 штук с 2 ластиками и точилкой. 17. Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности
18. Графический метод решения задач линейного программирования
19. Методы решения логистических задач
20. Эвристические методы решения творческих задач
21. Графический метод решения химических задач
25. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
26. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
27. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
28. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
29. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
30. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
31. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения
32. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
Простыня на резинке "ЭГО", 160х200 см, бежевая. 
Детский велосипед Jaguar трехколесный (цвет: коричневый). 
Кружка фарфоровая "Королевские собаки", 485 мл. 33. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
34. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
35. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
36. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения
37. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
41. Способы решения систем линейных уравнений
43. Решение иррациональных уравнений
44. Применение свойств функций для решения уравнений
46. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
47. Решение системы нелинейных уравнений
48. Применение графиков в решении уравнений
Контейнер для аптечки "Домашний доктор", 10 л. 
Кроватка для кукол, деревянная. 
Ростомер говорящий "Ферма". 49. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
50. Численное решение модельного уравнения
52. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
57. Решение системы линейных уравнений
58. Решение уравнений средствами Excel
60. Алгоритм решения Диофантовых уравнений
61. Асимптотика решений дифференциальных уравнений
62. Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2
63. Решение дифференциальных уравнений
64. Решение иррациональных уравнений
Набор маркеров для досок " Kores", 10 штук, 3 мм. 
Бумага самоклеящаяся "Lomond", А4, 38х21,2 мм, 65 штук на листе, 50 листов, белый. 
Активный порошок для посудомоечных машин "Paclan Brileo", 2,5 кг. 65. Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами
66. Решение параболических уравнений
67. Решение систем дифференциальных уравнений
68. Решение уравнений в конечных разностях
74. Приближенное вычисление корней в уравнения
75. Методы приближённого решения матричных игр
76. Систематизация и обобщение знаний учащихся по теме "Алгебраические уравнения" в 9 классе
78. Деятельность международных организаций ООН в решении глобальной продовольственной проблемы
79. Основания для пересмотра по вновь открывшимся обстоятельствам решений судов по гражданским делам
Батут. 
Кружка-хамелеон "Разогрей Звезду". 
Пенка для купания малышей "Arau Baby", 400 мл. 82. Решение задач по курсу "семейное право"
83. Культура, природа, человек. Проблемы и пути их решения
84. Решение транспортной задачи методом потенциалов
85. Sportster Voice 28.8 Инсталляция & Проблемы и решения
89. Решение математических задач в среде Excel
90. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)
92. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
93. Решение задач - методы спуска
94. Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка
95. "Уравнения математической физики", читаемым авторов на факультете "Прикладная математика" в МАИ
96. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
Кружка "Котик черный". 
Маркеры перманентные, 12 цветов. 
Стиральный порошок "Molecola", для цветного белья, с растительными энзимами, 1,2 кг. 97. Синтез оптимальных уравнений
98. Решение оптимизационной задачи линейного программирования
99. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
